رده ای در ابر ساختارها به همراه پیچش هایی بر روی ابر ساختارهای ضعیف
چکیده
مارتی در سال 1934 مقاله ای در کنفرانس ریاضیدانان استکهلم ارائه داد. او در آن مقاله برای اولین بار مفهوم ابر گروهها را به عنوان تعمیم گروهها معرفی کرد. در سال 1990 و جیوکلیس در چهارمین کنفرانس بین المللی ابر ساختار جبری مفهوم -hv گروهها و -hv حلقه ها را بیان کرد. ابر ساختارها توجه افراد زیادی را به خود جلب کرده است . و آن کارهای بسیار زیبایی بر روی این مفاهیم انجام دادند. ما در این پایان نامه به جنبه های خاصی از ابر ساختارها خواهیم پرداخت . در فصل اول که با عنوان -hv ساختارهای ضعیف است به بیان مفاهیم اولیه مانند ابر گروه، ابر عمل و ... می پردازیم که بخش یک فصل اول را شامل می شود. یکی از مباحث با اهمیت در ابر ساختارها رابطه سیاسی b0 می باشد، و جیوکلیس در کتاب خود رابطه b0 را برای -hv گروهها بصورت زیر تعریف می کند: اگر فرض کنیم (h, 0) یک -hv گروه می باشد. b0 کوچکترین رابطه هم ارزی است به طوریکه h/b0 یک گروه می شود. این مفهوم در قسمتهای مختلف ابر ساختارها بکار رفته است . بدین لحاظ ما احتیاج به دیدی فراتر از آنچه و جیوکلیس در کتاب خود آورده بود داشتیم. در بخش آخر از فصل اول به مفهوم همریختی ها پرداختیم. همریختی های ضعیف ، قوی، شمول و ... را بیان کردیم. فصل دوم پایان نامه به دره ای خاص از ابر ساختارهای اختصاص داده شده است . ابر ساختارهای کوچک یکی از مباحث مهم در ابر ساختارها می باشد. ابر گروهوار خیلی کوچک ابر ساختاری است که ساختار آن به ساختار گروهها بسیار نزدیک است . این فصل شامل سه بخش می باشد بخش اول -hv نیم گروههای خیلی کوچک می باشد. بخش دوم و سوم به ترتیب -hv گروههای خیلی کوچک و -hv حلقه های خیلی کوچک می باشد. فصل آخر پایان نامه با عنوان پیچش هایی بر روی ابر ساختارهای ضعیف تنظیم شده است . این فصل شامل 5 بخش می باشد. ابتدا اسکالرها و منفردها را معرفی کرده ایم. بخش دوم معرفی چند ابر ساختارها می باشد. هدف ما از بیان این دو بخش استفاده آنها در چند بخش بعدی می باشد. آن هنگام که پیچش ها را بر روی k [g] معرفی می کنیم. در بخش سوم که مجموعه های اساسی نام دارد، به بیان مجموعه هایی خاص در ابر ساختارها پرداخته ایم. در این بخش مثال 9-3-3 را ارائه می دهیم که -hv گروه می باشد. اما -hv گروه ?-wass نباشد. در بخش چهارم پیچش را معرفی می کنیم و قضیه 10-4-3 را بیان و اثابت می کنیم. و در بخش آخر قضیه 1-5-3 را بیان و اثبات می کنیم ابر ساختارها گسترشی از ساختارهای جبری می باشند. ابتدا مفهوم ابر ساختارها و -hv ساختارها را بیان کرده ایم. پس از تعریف ابر ضرب اشتراکی و -w ابر ضرب رابطه بین آنها را بدست آورده ایم. مثال هایی ارائه داده ایم که -hv نیم گروه، شرکت پذیر ناقص نباشد و ابر گروهواری که شرکت پذیر ناقص باشد و b0 منظم قوی نباشد. در ادامه ابر ساختارهای خیلی کوچک را مورد مطالعه قرار داده ایم. اهمیت ابر ساختارهای خیلی کوچک در این است که ساختارشان در ابر گروهها، به ساختار گروهها خیلی نزدیک است . ابر گروهوارهای خیلی کوچکی و ابر حلقه های خیلی کوچک مفاهیم دیگری هستند که مورد بررسی و مطالعه قرار گرفتند. پیچش در یک ابر گروه نیز در فصل آخر مورد مطالعه قرار گرفته است . و نشان داده ایم که چگونه می توان با استفاده از آن، یک ابر گروه جبر ساخت که -hv حلقه باشد.