حساب ایده آلی در حلقه های نوتری با اتحاد کثیرالجمله ای
چکیده
در تئوری حلقه های جابجایی مشخصهء هر دامنهء ددکینداین است که هر ایده آل آن حاصل ضرب ایده آلهای اول است . در این رساله ما برآنیم که این خاصیت را به کلاسی از حلقه های نابجایجایی نوتری گسترش دهیم . و ما در بخش اول از فصل سوم رسالهء ثابت می کنیم که اگرr حلقهء اول نوتری و با اتحاد کثیرالجمله ای و هر ایده آل r حاصل ضرب ایده آلهای اول باشد آنگاه r یک حلقهء ددکینداول است (1-10و3) اما در یک قلمرو صحیح جابجایی r، اگر هر ایده آل حاصل ضرب ایده آلهای اول باشد آنگاه r یک حلقهء نوتری است . لذا به نظرمیرسد که خاصیت نوتری احتمالا" در ضمیمهء pi حلقه ها بدست آید . و این موضوع هدف اصلی در بخش دوم از فصل سوم می باشد و ما ثابت خواهیم کرد(2-2 و 3) که اگر r حلقهء اول و هر ایده آل آن حاصل ضرب ایده آلهای اول و در ضمن r به عنوان یک مدول روی مرکزش متناهیا" تولید شده باشد آنگاه r یک حلقهء ددکینداول نوتری است . اما برای رسیدن به اهداف ذکر شدهء بالا در فصل اول ابتدا به معرفی و ذکر قضایایی چند از تئوری حلقه ها پرداخته ایم که خواننده می تواند جزئیات بیان شده را در کتابهای استاندارد پیدا نماید. امادر بخش دوم از این فصل به ذکر قضیه ای از آیزن باد نظر افکنده ایم (2-3 و 1) و تمامی این بخش از مرجع (15) برگرفته شده است . در حقیقت اگر r و s دو حلقه باشند و rcs و s به عنوان یک -r مدول متناهیا" تولید شده باشد. و r یک حلقه آرتینی یا نوتری باشد . sنیز چنین است . و قضیه (2-3 و 1) تحت شرایط قویتری سعی در اثبات عکس این قضیه دارد . همچنین در بخش سوم به معرفی و اثبات بعضی خواص مربوط به حلقه کسرها از یک حلقهء r نسبت به یک مجموعهء مخرج x پرداخته ایم . در فصل دوم رساله به معرفی نسبتا" کاملی از حلقه هایی که در یک کثیرالجملهء تکین صدق می کنند اشاره کرده ایم که خواننده می تواند شرح کاملتری از آنها را (23) و (14) پیدا نماید. و در این فصل به قضایای زیبایی چون قضیهء کاپلانسکی (1-24و2) و قضیهء پوسنر (1-41و2) و قضیهء آرتین پروچزی (1-52و2) و درهمین فصل است که به قضیهء بسیار زیبا و راهگشای زیر اشاره شده است . "قضیهء (1-40 و 2) " : اگر -pi r حلقهء اول باشد آنگاه هر ایده آل غیرصفر r شامل یک عنصر غیر صفر از مرکز r می باشد . در پایان متذکر می شوم، آنچه که زیربنای اصلی بخش اول و دوم از فصل سوم را تشکیل می دهد مطالبی است که به ترتیب از مراجع 11 و 12 گرفته شده است .