برخی کاربردهای فیزیکی فضاهای فازی وهندسه ناجابجایی

مهدی لطفی زاده

چکیده

3) شرح موضوع پیشنهادی : ( تعریف مساله، فرضیات و هدف.....): (هنگام تایپ فضای لازم باز خواهد شد. مطالب طوری تاپپ شود که در همین صفحه جا شود. توضیحات مفصل در پروپوزال تشریحی مجزا ارائه گردد. فایل مربوطه در سایت دانشگاه موجود است ) علت توصیف مدل های فیزیکی مختلف توسط هندسه ناجابجایی این است که ساختار مقیاس کوچک فضا – زمان را نمی توان در هندسه کلاسیک به خوبی مدل بندی کرد. چنان که در مکانیک کوانتومی، فضای فاز، آثار کوانتومی از خود نشان می دهد، انتظار می رود که در مقیاس پلانک خود هندسه نیز آثار کوانتومی از خود نشان دهد. هندسه ی ناجابجایی که نخستین بار توسط آلن کن، ریاضی دان فرانسوی ابداع شد، توانایی توصیف چنین پدیده هایی را دارد. هدف هندسه ی ناجابجایی فرمول بندی مجدد هندسه ی یک خمینه، m ، به زبان جبر توابع هموار بر آن، (c^? (m ، و در نتیجه تصمیم نتایج متناظر در هندسه ی خمینه به حالت یک جبر ناجابجایی می باشد. مهمترین مفهومی که در گذار از هندسه جابجایی به هندسه ی ناجابجایی از بین می رود مفهوم نقطه است. به همین دلیل گفته می شود که هندسه ی ناجابجایی، هندسه ی بدون نقطه است. نقطه ی شروع، قضیه گلفاند – نایمارک است. این قضیه بیان می کند که فضاهای توپولوژیک ها سدورف و فشرده در تناظر با *c - جبرهای یکدار هستند و تناظر زیر بین ویژگی های جبری و توپولوژیکی برقرار است. جبر فضا یکدار فشرده ایده آل بسته زیر فضای بسته یک به یک بودن پوشا بودن پوشا بودن یک به یک بودن اتومورفیسم هومئومورفیسم جمع مستقیم اجتماع مجزا نظریه k نظریه k نخستین نمونه از یک فضای ناجابجایی، فضای فاز کوانتومی یک ذره ی غیر نسبیتی می باشد. در حقیقت دیراک در مقالات تاریخی خود در سال 1926 خاطر نشان کرد که فضای فاز فیزیک کوانتومی را می توان به زبان جبر توابع کوانتنیزه شده بررسی کرد، جبری که دیراک آن را جبر کوانتومی نامید. یکی از نتایج بحث دیراک، عدم ظهور مفهوم موضعی بودن، به کمک اصل عدم قطعیت هایزنبرگ بود. اصل عدم قطعیت هایزنبرگ بیان می کند که هر مختصه ی مکانی یک ذره ی با مختصه ی متناظر از تکانه خطی آن ذره جابجا نمی شود: در هندسه ی ناجابجایی رابطه ی فوق به مختصات مکانی یک ذره تعمیم می یابد یعنی در این هندسه داریم: رابطه ی فوق مفهــوم موضعـــی بودن مکانی را از بین می برد و به تبع آن بسیاری از بی نهایتهایی که درنظریه کوانتومی میدان ها به دلیل موضعی کردن ظاهر می شد خود بخود از بین می روند. نظریه ی کلافهای تاری در توصیف ریاضی نظریه های پیمانه ای از اهمیت زیادی برخوردارند. ثابت شده است که مجموعه ی مقاطع کلاف برداری e روی فضای پایه ی m ، یک (c(m – مدول تصویری با تولید متناهی است. قضیه سر سو آن بیان می کند که رسته ی کلاف های برداری روی فضای فشرده ی m با رسته ی مدول های تصویری با تولید متناهی روی (c(m هم ارز است. لذا بجای مطالعه کلاف های برداری می توان مدول مقاطع آنها را مطالعه کرد. در هندسه ی ناجابجایی، ساختار جبری کلاف های اصلی کوانتومی، با تار گروه کوانتومی، توسط توسیع های هوپف – گالوا فراهم می شود. توسیع های هوپف – گالوا ابزار اصلی در ناجابجایی کردن نظریه های میدان پیمانه ای هستند. ابزار اندازه گیری میزان انحراف یک کلاف غیربدیهی از یک کلاف بدیهی توسط کلاس های چرن داده می شود. همچنین میزان اختلاف یک فضای توپولوژیک از فضای توپولوژیک دیگر توسط گروه های همولوژی و کوهمولوژی و دیگر ناورداهای توپولوژیک سنجیده می شود. تعمیم کوهمولوژی درام به هندسه ی ناجابجایی، همولوژی دوری نامیده می شود. در نتیجه کلاس های چرن که در حالت جابجایی مورفیسم هایی از نظریه k به کوهمولوژی درام بودند، تبدیل به کلاس های چرن ناجابجایی می شوند که مورفیسم هایی از نظریه k به همولوژی دوری هستند. از آنجا که نظریه k تنها چیزی است که در گذار از فضاها به جبرها و در گذار از حالت جابجایی به حالت ناجابجایی دستخوش تغییر نمی شود لذا در گذار از کلاس های چرن جابجایی به کلاس های چرن ناجابجایی، دامنه بدون تغییر باقی می ماند. همولوژی دوری جبری مانند a شامل یک خانواده از گروه های آبلی، n?o ,hc_n (a) است که گروه های همولوژی خارج قسمت مجتمع هوخشیلد، توسط عمل گروه های دوره ی متناهی هستند. همولوژی دوری نوع خاصی از همولوژی هوخشیلد است. یک راه برای مطالعه همولوژی هوخشیلد، در نظر گرفتن آن به عنوان تعمیمی از مدول های فرم های دیفرانسیلی برای جبرهای ناجابجایی است.

اساتید راهنما و مشاور

حسین فخری، سیدکمال الدین سیدیعقوبی