قضیه نش-موزر و کاربردهای آن
چکیده
چکیده هدف اصلی این پایان نامه بیان و اثبات تعمیمی پیشرفته و مهم از قضیه تابع وارون یعنی قضیه نش? موزر و نیز بررسی قضیه نیرنبرگ درباره نشاندن رویه های با انحنای مثبت، به عنوان کاربردی از این قضیه می باشد. برخلاف قضیه تابع وارون در فضاهای باناخ که ادعا می کند وارون پذیر بودن مشتق در یک نقطه برای وارون پذیری موضعی کافی است، در قضیه نش ? موزر که برای فضاهای فرشه بیان می شود، علاوه بر وارون پذیری نگاشت مشتق به شرایط دیگری (مانند خوش رفتار بودن فضاها و نگاشت هاو . . .) نیز نیاز داریم. مثال های متعددی موجودند که نشان می دهند هرگونه تعمیم سرراست از قضیه تابع وارون به فضاهای فرشه نادرست است و درنتیجه لازم است یک ساختار اضافه روی این فضاها در نظر بگیریم. قضیه نش? موزر بیان می کند که اگر f و g دو فضای فرشه خوش رفتار و p یک نگاشت هموار خوش رفتار باشد به طوریکه مشتق در هر نقطه وارون پذیر بوده و خانواده وارون ها نیز هموار خوش رفتار باشند، آنگاه p به طور موضعی وارون پذیر بوده و هر وارون موضعی نیز یک نگاشت هموار خوش رفتار می باشد. بخش اصلی اثبات این قضیه اثبات وجود وارون است که معادل یافتن جواب برای معادله p(f)=g می باشد و حل این معادله با یافتن جواب برای یک معادله دیفرانسیل که با استفاده از عملگرهای هموارکننده تعریف شده است، انجام می گیرد. ازآنجاییکه اهمیت قضیه نش? موزر به خاطر کاربردهای وسیع آن می باشد، قسمتی از این پایان نامه به یکی از کاربردهای مهم آن یعنی قضیه نیرنبرگ درباره نشاندن رویه های با انحنای مثبت اختصاص یافته است. در این قضیه که از قضایای مهم در هندسه دیفرانسیل می باشد، ثابت می شود که هر رویه جهت دار فشرده و مجهز به یک متر ریمانی که دارای انحنای گاوسی مثبت است، می تواند به طور ایزومتریک به عنوان یک رویه محدب هموار در فضای اقلیدسی سه بعدی نشانده شود. اثباتی که در این پایان نامه ارائه می شود، مشخصاً بر چگونگی استفاده از قضیه نش? موزر متمرکز شده است.