مطالعه جبری مدلهای کوانتومی حل پذیر شبه کامل
چکیده
در این پایان نامه، مدل های کوانتومی حل پذیر شبه کامل به روش های جبری و بر اساس تقارن دینامیکی نهفته در آنها مورد مطالعه قرار می گیرد. روش کار در دیدگاه جبری به این صورت است که اگر بتوانیم هامیلتونین سیستم را به صورت ترکیب مولدهای جبر لی خاصی در فضای نمایش متناهی بنویسیم، در این صورت هامیلتونین سیستم قابل حل خواهد بود. مباحثی که در این پایان نامه به آن پرداخته می شود معرفی مفهوم حل پذیری شبه کامل و ارائه حل شبه کامل مسائل کوانتومی تک مولفه ای و دو مولفه ای به طریق جبری و نیز طبقه بندی پتانسیل های حل پذیر شبه کامل می باشد. روش کلی کار به صورت جبری و بر اساس تقارن دینامیکی نهفته در مسئله می باشد. در فصل دوم تعاریف و مفاهیم پایه ارائه شده است. گروه لی و جبر لی به عنوان ابزارهای ریاضی مهم در شناخت مفهوم حل پذیری شبه کامل مطرح شده اند. در بخش دیگری مختصری از نظریه ابرتقارنی در مکانیک کوانتومی که مبنای اصلی روش کار در فرمالیسم پیش پتانسیل و نیز یافتن جواب های شبه کامل معادله دیراک در فصل سوم می باشد، بیان گردیده است. در فصل سوم حل پذیری شبه کامل مسائل کوانتومی تحت تقارن دینامیکی جبر لی sl(2) مورد بررسی قرار گرفته و طبقه بندی توربینر از پتانسیل های حل پذیر شبه کامل در یک بعد بر پایه جبر لی sl(2) ارائه شده است. راهکاری جدید در توسعه نظریه حل پذیری شبه کامل با عنوان فرمالیسم پیش پتانسیل بر اساس روش های تجزیه سازی و ایجاد ساختار ابرتقارنی سیستم بیان شده است. حل پذیری شبه کامل دو معادله شناخته شده مکانیک کوانتومی نسبیتی، معادله دیراک (1+1) بعدی در حضور پتانسیل اسکالر و معادله کلاین-گوردون در حضور پتانسیل کولنی تعمیم یافته به دو روش متفاوت نشان داده شده است. در فصل چهارم، حل پذیری شبه کامل سیستم های کوانتومی دو مولفه ای شامل هامیلتونین نقاط کوانتومی، هامیلتونین جینز-کامینگز، هامیلتونین جان-تلر و معادله شعاعی دیراک که عملگر هامیلتونین در آنها به صورت نمایش ماتریسی 2×2 می باشد، بر پایه ابرجبرهای لی مورد بررسی قرار گرفته است. روش کار بدین صورت است که با اعمال تبدیلات مناسب، ساختار جبر نهفته در سیستم مشخص و هامیلتونین بر حسب مولدهای ابرجبرهای لی osp(2,1) و osp(2,2) بازنویسی شده است. سپس با برقراری معادله ویژه مقداری، یک سری روابط بازگشتی به دست آورده می شوند که به ازای پارامتر معینی قطع می شوند. علاوه بر این، با بیان روابط بازگشتی به زبان ماتریسی، از محاسبه ریشه های دترمینان ماتریس مذکور، جواب های طیف انرژی سیستم برای مقادیر مشخص از پارامتر تعیین شده اند. در نهایت در فصل پنجم نتیجه گیری ارائه شده و پیشنهادهایی جهت دنبال کردن کار توسط دانشجویان علاقمند مطرح شده است.