فضاهای ?-فشرده
چکیده
فضاهای فشرده و لیندلوف از فضاهای اساسی در مطاله ی توپولوژی هستند که تا به حال به طور مجزا مطالعه شده اند. در این پایان نامه با تعریف $lambda$-فشردگی هر دو فضا را با یک خاصیت مشترک در نظر می گیریم که وقتی $lambda$ برابر با $aleph_{circ}$ است؛ فضای فشرده و وقتی که $lambda$ برابر با $aleph_1$ است؛ فضای لیندلوف نافشرده به دست می آید.فضای $lambda$-فشرده را تعریف کرده و نشان داده ایم که برای هر عدد کاردینال منظم مانند $lambda$، یک فضای هاسدورف و کاملاً منظم وجود دارد که $lambda$-فشرده است.گزاره ی ef{pro1-33}، بیان می کند که در یک $p_lambda$-فضای هاسدورف، هر زیرفضا با درجه ی فشردگی کوچکتر و یا مساوی با $lambda$ بسته است. یکی از نتایجی که این گزاره به دست می دهد این است که «هر زیرفضای لیندلوف از یک $p$-فضای هاسدورف، بسته است» که کلی تر از 4k.1 از مرجع cite{gill} می باشد؛ که بیان می کند؛«هر زیرفضای شمارش پذیر از یک $p_lambda$-فضای هاسدورف بسته است».ایدآل $lambda$-ثابت در $c(x)$ تعریف شده و سپس در قضیه ی ef{the1-10}، ثابت شده است که فصای توپولوژی $x$، $lambda$-فشرده است اگر و تنها اگر $lambda$ کوچکترین عدد کاردینال نامتناهی باشد که هر ایدآل $lambda$-ثابت در $c(x)$، ثابت است. همچنین مفهومِ خاصیت $lambda$-ثابت در ef{def1-11}، ارائه شده و در قضیه ی ef{the1-12}، قضیه ی 4.11 از مرجع $cite{gill}$ که در آن، نشان داده شده است که ثابت بودن ایدآلها در $c(x)$ و یا فقط ایدآلهای ماکسیمال و یا حتی فقط ایدآلهای اول، معادل با فشردگی فضای $x$ است؛ تعمیم داده شده است.ابتدا در ef{def1-14}، یک ریختی $lambda$-ثابت، تعریف شده و سپس در قضیه ی ef{the1-15}، یکی از قضایای مهم در مبحث حلقه ی توابع پیوسته(قضیه ی 4.9 از مرجع cite{gill}) به این ترتیب تعمیم داده شده است که «دو فضای توپولوژی $x$ و $y$ با درجه ی فشردگی $lambda$ همسان ریخت هستند اگر و تنها اگر $c(x)$ و $c(y)$ به طور $lambda$-ثابت یک ریخت باشند». همچنین از قصیه اخیر نتیجه گرفته ایم که اگر $x$ یک فضای توپولوژی با درجه ی فشردگی $lambda$ باشد؛ به طوری که نگاشت کانونی بین $c(x)$ و $c(upsilon x)$، $lambda$-ثابت باشد؛ آنگاه $x$، فشرده حقیقی است.ویژه گی فضاهای $lambda$-فشرده ی ماکسیمال هاسدورف به این صورت مشخص شده است که «اگر $x$ یک فضای هاسدورف و $lambda$-فشرده باشد که در آن $lambda$ یک عدد کاردینال منظم است؛ آنگاه $x$ یک فضای $lambda$-فشرده ی ماکسیمال است اگر و تنها اگر یک $p_lambda$-فضا باشد و یا اگر و تنها اگر هر زیرفضای آن با درجه ی فشردگی کوچک تر و یا مساوی با $lambda$ بسته باشد».