یک الگوریتم صفحه برش برای برنامه ریزی نیمه معین

یوسف حدادیان

چکیده

یک رده ی بسیار مهم از مسائل بهینه سازی، برنامه‎ ریزی نیمه معین است. مدل سازی و بیان مسائل جهان واقعی به صورت برنامه ریزی نیمه معین از اهمیت بسزایی برخوردار است و امروزه حجم زیادی از پژوهش های مربوط به بهینه سازی غیرخطی را به خود اختصاص داده است. دلایل زیادی وجود دارد که برنامه ریزی نیمه معین به موضوعی جالب برای پژوهش بدل شده است. یکی از این دلایل این است که الگوریتم های موجود برای حل این رده از مسائل عملکرد نسبتا خوبی دارند. این امر به دلیل ساختار محدب فضای شدنی و درنتیجه خوش رفتار بودن برنامه ریزی نیمه معین در فرایند حل و داشتن حجم مهارشدنی محاسبات می باشد. دلیل دیگر به ساختار دوگان فضای شدنی مربوط می شود. در برخی از مسائل بهینه سازی، جواب مسائل اولیه و دوگان با هم برابر نیستند. ولی به دلیل این که در برنامه ریزی نیمه معین هردو مسئله ی اولیه و دوگان در اغلب حالات اکیدا شدنی هستند جواب مسائل اولیه و دوگان با هم برابر است. این مهم در فصل اول بررسی خواهد شد. دلیل دیگری که برنامه یرزی نیمه معین را به موضوعی جالب برای پژوهش بدل می کند توانایی بالای برنامه ریزی نیمه معین برای فرمول بندی مسائل کاربردی است. لازم به ذکر است که برنامه ریزی خطی حالتی خاص از برنامه ریزی نیمه معین است. و ثابت می شود که هر مسئله ی برنامه ریزی مخروطی درجه دوم نیز یک مسئله ی برنامه ریزی نیمه معین است. از آنجا که بیشتر مسائل کابردی غیرخطی هستند لذا الگوریتم های مربوط به این نوع مسائل همواره در حال ابداع و تکامل هستند. بسیاری از مسائل برنامه ریزی پس از آن که به زبان ریاضی مدل سازی شدند به صورتی در می آیند که به سادگی قابل حل نیستند. در این موارد تکنیک هایی از قبیل محاط کردن مسئله در مسئله ای با فضای شدنی بزرگ تر به ما کمک می کند تا به فرمی ساده تر از مسئله برسیم که با الگوریتم های موجود قابل حل باشد. به چنین فرایندی آزادسازی می گویند. بدیهی است که با اعمال تکنیک های متفاوت می توان به فرمول بندی های متفاوتی از مسئله دست یافت. نشان داده شده است که مسائل برنامه ریزی نیمه معین پیچیدگی محاسباتی مهارشدنی دارند و با الگوریتم های موجود به خوبی حل می شوند. از این رو آزادسازی نیمه معین مبحثی است که در هنگام مطالعه ی برنامه ریزی نیمه معین باید به صورت جدی مدنظر قرار گیرد. در فصل اول به این موضوع به اختصار خواهیم پرداخت. در واقع، طیف های متنوعی از مسائل برنامه ریزی وجود دارند که اعمال آزادسازی بر روی آن ها منجر به برنامه ریزی نیمه معین می شود. یک رده از مسائلی که اعمال آزادسازی بر روی آن ها برنامه ریزی نیمه معین تولید می کند، مسائل بهینه سازی ترکیبیاتی است. آزادسازی های مختلفی از این نوع مسائل در فصل اول بررسی شده است. از جمله الگوریتم های موثر برای حل مسائل برنامه ریزی نیمه معین، الگوریتم های مبتنی بر روش های صفحه ی برش می باشند. این روش ها در برنامه ریزی خطی اعداد صحیح یکی از متداول ترین روش ها هستند. از طرفی می توان نشان داد که هر مسئله ی برنامه ریزی خطی یک مسئله ی برنامه ریزی نیمه معین است. در این پایان نامه به دنبال به کارگیری این روش ها برای حل مسائل برنامه ریزی نیمه معین در حالت کلی هستیم که مقوله ای جدید در برنامه ریزی نیمه معین بوده که هنوز آن گونه که باید شناخته نشده است و الگوریتم های مربوط به آن همچنان در دست پژوهش برای بهبود عملکرد قرار دارند. روش های صفحات برش به دو صورت به کار برده می شوند: یا به صورت مستقل بصورت ترکیب آن ها با یک روش موثر دیگر. در روش ترکیبی یک زیرمسئله در هر تکرار ساخته می شود که معمولا به وسیله ی روش های نقطه درونی حل می شود. از این رو داشتن شناختی مختصر از این روش ها ضروری است. در این پایان نامه فصلی کوتاه به این موضوع اختصاص داده شده است. در مسائل برنامه ریزی خطی که در آن ها از روش های صفحات برش استفاده می شود، ابتدا یک آزادسازی از مسئله که فضای شدنی بزرگ تری دارد، ساخته شده و حل می گردد. سپس یک قید نامساوی (یک صفحه ی برش) به مسئله طوری افزوده می گردد که فضای شدنی را کاهش داده و جواب بهینه ی فعلی را صدق ندهد. سپس مسئله ی جدید با یک روش موثر (معمولا روش سیمپلکس اولیه- دوگان) حل می شود و این فرآیند تکرار می گردد. در مسائل برنامه ریزی نیمه معین در هر مرحله از فرآیند حل، یک آزادسازی از مسئله که فضای شدنی بزرگ تری دارد، معمولا به وسیله ی روش های نقطه درونی حل می گردد. سپس در مرحله ی بعد با تعداد زیادی نامساوی سروکار داریم که انتخاب هر دسته از آن ها به مسئله و ساختن زیرمسئله ی جدید یکی از مخاطرات جدی هر الگوریتم می باشد. این پایان نامه به ترتیب زیر تنظیم شده است: فصل اول به معرفی برنامه ریزی نیمه معین اختصاص دارد. فرم اولیه و دوگان برنامه ریزی نیمه معین و تعمیم های آن و همچنین دو فرم معادل از برنامه ریزی نیمه معین به تفصیل معرفی خواهند شد. همچنین چند مسئله ی مهم از بهینه سازی ترکیبیاتی بیان می گردد که با اعمال آزادسازی بر روی آن ها به برنامه ریزی نیمه معین تبدیل می شوند. در فصل دوم مفهوم صفحه ی برش بیان شده و چند نمونه از روش های صفحه ی برش معرفی می شوند. در فصل سوم روش های نقطه درونی را خواهیم داشت. این روش ها برای ساختن الگوریتم هایی که از روش های صفحات برش برای حل مسائل برنامه ریزی نیمه معین استفاده می کنند به کار می رود. در فصل چهارم دو نمونه از روش های صفحات برش را به تفصیل مورد بررسی قرار خواهیم داد که می توان آن ها را برای حل تمامی مسائل برنامه ریزی نیمه معین با ساختاری که در فصل اول بیان شد، به کار برد. در فصل چهارم یک روش صفحات برش خاص بیان خواهد شد که برای حل یک نوع خاص از برنامه ریزی نیمه معین به کار برده می شود و کارایی بهتری نسبت به سایر روش های صفحات برش دارد.

اساتید راهنما و مشاور

محمدرضا پیغامی