وجودجواب ها برای معادلات دیفرانسیل کسری
چکیده
در این پایان نامه، نخست مفهوم محاسبات کسری معرفی شده و تاریخچه ی آن بیان می گردد. در ادامه، چند روش مهم برای حل مسائل مقدار مرزی از معادلات با مشتقات کسری به طور مختصر مورد بررسی قرار می گیرد که پایه و اساس همگی آن ها قضایای نقطه ثابت می باشد. در نهایت به بیان قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز می پردازیم و از آن برای حل برخی مسائل مقدار مرزی از معادلات با مشتقات کسری استفاده می کنیم. محاسبات کسری شاخه ای از آنالیز ریاضی است که با محاسبات و کاربردهای مشتق ها و انتگرال ها از مرتبه ی دلخواه سروکار دارد. محاسبات کسری به عنوان یک موضوع قدیمی شناخته شده است، زیرا این موضوع برای اولین بار توسط لیبنیز و هوپیتال در سال 1695، در قالب مکاتبه ای بین آن ها مطرح شد. موضوع محاسبات کسری در سال های اخیر به دلیل کاربردهای گسترده ی آن در زمینه های متنوع آنالیز عددی و فیزیک و مهندسی شامل مهندسی مواد، با توجه به این که در طی این سال ها بسیاری از نویسنده ها به این موضوع اشاره داشته اند که مشتقات و انتگرال ها از مرتبه ی غیرصحیح برای توصیف خواص موادهای متفاوت برای مثال پلیمرها بسیار مناسب هستند و مدل های مرتبه ی کسری جدید مناسب تر از مدل های مرتبه ی صحیح قدیمی هستند، مورد توجه زیادی قرار گرفته است. این موضوع به دلیل کاربردهای فراوان در زمینه های مختلف علمی اخیراً بسیار مورد توجه دانشمندان قرار گرفته است و چندین تکنیک برای حل معادلات انتگرالی و معادلات با مشتقات کسری فراهم شده است. هدف اصلی این پایان نامه، ارائه ی روشهایی برای حل معادلات و سیستم های دیفرانسیل کسری می باشد. این پایان نامه شامل 5 فصل است. در فصل 1، ابتدا به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز در آنالیز مانند فضاهای برداری و توپولوژیک، فضاهای باناخ و توپولوژی ضعیف پرداخته، سپس قضیه ی آرزلا-آسکولی را بیان کرده و مفهوم پیوستگی کامل را ارائه می دهیم. در ادامه، پس از تعریف چند نگاشت مهم و اساسی، محاسبات کسری را به تفصیل توضیح داده و به تعریف انتگرال ها و مشتقات کسری می پردازیم. در فصل 2، یک مسأله ی مقدار مرزی از معادله ی دیفرانسیل با مرتبه ی کسری را در نظر گرفته و با استفاده از قضایای نقطه ثابت وجود جواب برای این مسأله را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل 3، قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز را بیان کرده و آن را برای حل مسائل مقدار مرزی از معادلات دیفرانسیل کسری متفاوت، به کار می گیریم. در فصل 4، یک دستگاه با معادلات دیفرانسیل کسری با شرایط مرزی چند نقطه ای را ارائه می دهیم و با استفاده از قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز شرایط کافی برای وجود حداقل سه جواب مثبت برای این دستگاه را فراهم می کنیم. در فصل 5، یک دستگاه با معادلات دیفرانسیل کسری p-لاپلاسین با شرایط مرزی چند نقطه ای را ارائه می دهیم و وجود حداقل سه جواب مثبت برای این دستگاه را بررسی می کنیم. لازم به ذکر است که فصل های 4 و 5 کارهای جدید و ابتکاری در این زمینه می باشند که اینجانب با همکاری استاد راهنمایم آن ها را به نتیجه رسانده ام.