روش های زیرفضای کریلف ماتریسی برای کاهش مرتبه مسائل با مقیاس بزرگ
چکیده
معادله لیاپانوف 0 ap+pat+bbt= و 0=atq+qa+ctc را به روش های روش آرنولدی بلوکی ، آرنولدی تعمیم یافته و لانزوس تعمیم یافته حل کرده و نتایج آن را بررسی نمودیم، که به طور خلاصه به صورت زیر می باشد. در روش آرنولدی بلوکی با افزایش تکرارها (m) ذخیره سازی و محاسبه v_m پرهزینه می گردد. زمانی که ماتریس a، بزرگ و تنک باشد، در هر تکرار زمان زیادی صرف تجزیه qr و روند گرام اشمیت اصلاح شده می شود. در واقع روش آرنولدی بلوکی زمانی سودمند است که بعد ماتریس a، خیلی بزرگ نباشد، تا هزینه های ناشی از تولید ماتریس هایی که به دفعات نیاز به حل ضریب هایی از ماتریس a دارند، کاهش یابد. برخلاف روش های بلوکی، روش های تعمییم یافته چنین مشکلاتی ندارند. در روش آرنولدی تعمیم یافته در هر تکرار یک معادله لیاپانوف کاهش یافته با بعد m حل می شود در حالی که در الگوریتم بلوکی در هر تکرار یک معادله لیاپانوف کاهش یافته با بعد ms را بایستی حل نمود. این یکی از مزایای روش آرنولدی تعمیم یافته نسبت به آرنولدی بلوکی می باشد. همچنین با به کاربردن روش آرنولدی تعمیم یافته کران بالای مناسبی ارائه نمودیم. در روش لانزوس تعمیم یافته ذخیره سازی درایه های غیرصفر یک ماتریس سه قطری نسبت به ذخیره سازی یک ماتریس بالا هسنبرگ که در روش آرنولدی تعمیم یافته تولید می شود، نیاز به ذخیره سازی کمتری دارد. با این حال در روش لانزوس تعمیم یافته با بزرگ شدن m، زمان زیادی صرف ذخیره سازی v_i و w_i می شود، در حالی که درروش آرنولدی تعمیم یافته تنها ماتریس های v_i را ذخیره سازی می نماییم. اما از مزایای خاص روش لانزوس تعمیم یافته سرعت بسیار خوب این الگوریتم، برای حل معادله لیاپانوف مزدوج در حالت s=r می باشد& در این حالت تنها با به کاربردن یک الگوریتم، می توان هر دو معادله لیاپانوف را همزمان حل نمود. با این روش در زمان کمتری نسبت به روش های بیان شده می توان جواب های تقریبی معادله لیاپانوف مزدوج را به دست آورد. علاوه بر این با استفاده از فرایند آرنولدی تعمیم یافته سیستم های دینامیکی بزرگ lti، رابه وسیله تقریب تابع انتقال، کاهش مرتبه داد. اثر و کارایی این روش ها را به وسیله آزمایشات عددی بررسی نموده ایم ونمودارهای لازم را رسم کرده ایم. با استفاده از این نمودارها در فرکانس های بالاتر از نرم ماتریس a ، خطای حاصل از تقریب تابع انتقال به شدت کاهش می یابد. همچنین با تکنیک هایی مرتبه کاهش مناسب یرای هر سیستم lti به دست آورده ایم.