در این پایان نامه از استدلالی به اسم"استدلال استاندارد" استفاده زیادی شده است.در هر دو فصل, ابتدا به بیان لم هایی پرداخته ایم که با روش کاملآ جبری استدلال استاندارد به اثبات آن ها می پردازیم. و بعد به بیان قضیه اصلی می پردازیم و بعد با استفاده از این لم ها, به اثبات قضیه اصلی می پردازیم.
در فصل اول، برخی تعاریف مقدماتی از جمله جبر باناخ و مدولهای باناخ را معرفی میکنیم. در فصل دوم، به توصیف میانگین پذیری ضعیف جبر a(x) روی فضای باناخ x میپردازیم. این توصیف نقش اساسی در بیان نتایج فصلهای بعدی دارد. در فصل سوم، به بررسی میانگین پذیری ضعیف جبر عملگرهای تقریبی روی فضاه
دراین پایان نامه ابتدا نگاشت های دوسویی با ضابطه های مشخص که حافظ مقایسه پذیری در هر دو جهت می باشند راروی جبر اثر های فضای هیلبرت شرح میدهیم .که این مجموعه را با (e(h بیان کرده ومجموعه ی همه ی عملگر های خوداحاقa : h ? hمی باشند که 0 ? a و a ? iمی باشند.سپس لم های مقدماتی رابیان