حل تقریبی دسته ای از مسائل کنترل بهینه تحت pde خطی به کمک نیم گروه ها
چکیده
مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی کاربرد های زیادی در علوم محض، مهندسی، اقتصاد و غیره دارند. از طرفی اینگونه مسائل، نوعا" غیر خطی می باشند و حل تحلیلی و عددی آنها معمولا با دشواریهایی روبرو است. تاکنون چندین روش برای حل تحلیلی یا عددی اینگونه مسائل ارائه شده است .با توجه به این که این نوع مسائل دارای شرایط اولیه، نهایی و شرایط مرزی می باشند، در این روش ها هرگونه تغییر در شرایط اولیه یا مرزی باعث ایجاد تغییرات زیادی در محاسبات شده و همه محاسبات باید تکرار گردند. در این رساله رهیافت عددی جدیدی برای حل این نوع مسائل کنترل بهینه بر اساس نظریه نیم گروه ها ارائه می کنیم که هرگونه تغییر در شرایط اولیه یا مرزی باعث ایجاد تغییر جزیی در محاسبات می شود، زیرا ساختار نیم گروه مرتبط با هر مسئله تغییر نمیکند. ابتدا مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی سهموی خطی یک بعدی و دو بعدی را در نظر می گیریم و به منظور بدست آوردن نیم گروه تقریبی مربوطه، با گسسته سازی متغیر های غیر زمانی، مسئله pde را با یک مسئله دیفرانسیل معمولی خطی در شکل ناهمگن تقریب می زنیم. در ادامه با استفاده از نظریه نیم گروه ها، ماتریس اساسی مربوط به شکل همگن مسئله دیفرانسیل معمولی خطی را محاسبه می کنیم. پس از آن اثبات همگرایی رهیافت را در اولین تقریب با استفاده از مطالب و قضایای مربوط به ماتریسهای توبلیتز و نیم گروه ها بررسی می نماییم. سپس تابع کنترل را با استفاده از چندجمله ای های چبیشف تقریب می زنیم و پس از بررسی همگرایی روش در دومین تقریب، مسئله اصلی را به صورت تقریبی حل می کنیم. در ادامه مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی هذلولوی خطی را در نظر میگیریم و رهیافت بالا را برای حل تقریبی آن به کار می گیریم. در پایان حل مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی خطی سهموی با ضرایب متغیر زمانی را مورد بررسی قرار می دهیم. با در نظر گرفتن مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی خطی سهموی و با استفاده از گسسته سازی متغیر های غیر زمانی، مسئله اصلی را با یک مسئله دیفرانسیل معمولی خطی با متغیر زمانی تقریب می زنیم. سپس با استفاده از تکنیک hdmr مسئله دیفرانسیل معمولی خطی با ضرایب متغیر زمانی را با چندین مسئله دیفرانسیل معمولی خطی با ضرائب ثابت تقریب می زنیم. همچنین چند مثال عددی ارائه می کنیم.