کمترین مربعات کامل
چکیده
در مساله ی کمترین مربعات، دلایل مختلفی مانند خطای نمونه برداری، مدلسازی، دستگاهی و... وجود دارند که فرض وجود خطاهای اتفاقی فقط در متغیرهای وابسته را نقض نماید. در این صورت خطاهای اتفاقی علاوه بر متغیرهای وابسته مدل در متغیرهای مستقل نیز وجودخواهند داشت. این خطاها اغلب خود را در ماتریس ضرایب (ماتریس طرح) مدل بروز می دهند. مدلی که برای این حالت نوشته می شود، مدل کاملتری موسوم به مدل" خطا در متغیرها"استکه مساله ی مربوطه به مساله ی کمترین مربعات کامل (toal least squares) معروف شده است. در این مساله، جوابی مورد قبول است که نرم فروبینوس ماتریس خطاها(اعم از خطای مشاهدات و خطای ماتریس طرح) را کمینه کند. روش های مختلفی برای حل مساله ی کمترین مربعات کامل، ارائه شدهاست که روش تجزیه به مقادیر منفرد، اولین روش محسوب می شود. از روش مذکور برای حل مساله ی برازش خط بخاطرهندسه یخاص آن، چون که تفاوت های بین کمترین مربعات ساده و کاملرا به صورت گویا نشان میدهد،استفاده شده است. در این پایان نامه علاوه برروش تجزیه به مقادیر منفرد، روش های دیگری مانند روش اویلر – لاگرانژ و الگوریتم های بهبود یافته برای روش اویلر – لاگرانژ نیزدر حل مساله ی برازش استفاده شده است. همچنین مساله در حالت های هم وزن و وزن دار و حالت مقید به صورت تحلیلی مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین مساله ی ترانسفورماسیون آفاین ، دیگر مساله ای است که در این پایان نامه به آن پرداخته شده است. در مقایسه ی این روش ها، اگر حالت تکینه برای حل مساله ی کمترین مربعات کامل، بوجود نیایند، مقدار خطای برآورد شده در حضور خطای ماتریس ضرایب، کمتر از مساله ی کمترین مربعات کلاسیک می باشد و این به نوبه ی خود مفهوم کمترین فاصله ممکن را در مسائل تئوری تقریب بهتر نمایان می سازد. یادآوری می شود که در این پایان نامه مروری بر مساله ی کمترین مربعات کامل و بیان روش های حل آن با الگوریتم های مختلف انجام شده است. داده های مورد استفاده از مقالات انتخاب شده و در نهایت، نتایج بدست آمده با کمترین مربعات کلاسیک در حالت های هم وزن و وزن دار،مقایسه شده است