مسائل کنترل بهینه و جواب های ویسکوزیته از معادله هامیلتون-ژاکوبی
چکیده
در این پایان نامه با استفاده از معادلات با مشتقات جزئی به بررسی مسائل کنترل بهینه و حساب تغییرات می پردازیم. از جمله این معادلات که ارتباط بین مسائل کنترل بهینه و حساب تغییرات را نشان می دهد، معادله هامیلتون - ژاکوبی می باشد. معادله هامیلتون - ژاکوبی در مسائلی مانند پردازش تصویر، مسائل بهینه سازی و پدیده هایی که یک منحنی یا یک سطح در طول زمان منتشر می شوند، مانند مدل کردن پیشروی آتش سوزی در جنگل, کاربرد دارد. در فصل اول، کاربرد و روش های حل معادلات دیفرانسیل جزئی، قضایا، مفاهیم اولیه و شرایطی مانند محدب بودن که در کمینه سازی تابعک ها کاربرد دارد را بیان می کنیم. در فصل دوم، روش مشخصه برای حل یک معادله غیر خطی مرتبه اول شرح داده می شود. تبدیل لژاندار و فرمول هاپف-لاکس که جواب مسئله حساب تغییرات بوده به تفصیل بررسی می شوند. در فصل سوم، ویژگی های مسیرهای کمینه در مسائل حساب تغییرات را شرح می دهیم و نشان می دهیم که مسیرهای کمینه ساز در یک دستگاه معادلات معمولی صدق می کنند. این دستگاه معادلات، معادله اویلر-لاگرانژ برای مسیرهای کمینه می باشد. در فصل چهارم نظیر این مسیرهای کمینه، کنترل بهینه را معرفی کرده و در ادامه دو روش سیستماتیک برای حل مسئله کنترل ارائه می دهیم و به ارتباط میان تابع ارزش و معادله هامیلتون - ژاکوبی می پردازیم. در فصل پنجم، به تشریح جواب های ویسکوزیته می پردازیم و نشان می دهیم تابع ارزش بدست آمده از مسئله کنترل یک نوع جواب ویسکوزیته برای معادله هامیلتون - ژاکوبی می باشد. در آخر روش های عددی برای حل معادله هامیلتون - ژاکوبی و یک حالت خاص آن یعنی معادله ی ایکونال را ارائه می دهیم.