اثر تأخیر زمانی بر همگام سازی مدل کوراموتو در شبکه ی جهان کوچک

مریم کریمیان

چکیده

سیستم های زیستی را می توان با شبکه های پیچیده ی عظیم متشکل از نوسانگرهای فاز مدل کرد. مدل کوراموتو یکی از گویاترین و ساده ترین مدل‍هایی است که همگامی را در شبکه های بزرگ مقیاس توصیف می کند. در این پایان نامه هم از مدل کوراموتو استفاده کرده و دینامیک شبکه های جهان کوچک را بررسی نمودیم. شبکه های تحت تمرکز ما مدل جهان کوچک حلقه ی محصور به رئوس و توری بودند. در مدل حلقه که همان مدل واتس استروگاتس بود شاخص های جهان کوچک قبلا پیدا شده بودند و ما محدوده ی مناسب احتمال بازارایی که به ازای آن شبکه خواص جهان کوچکی را داشت، می دانستیم. در مورد توری با استفاده از مدل سازی های عددی و محاسبه ی طول کوتاهترین مسیر و ضریب خوشگی میانگین در مقادیر مختلف احتمال بازارایی و نیز پیدا کردن نقطه ی گذار سیستم از حالت غیر وابسته به شرایط اولیه به حالت وابسته، گستره ای مناسب برای این احتمال به دست آوردیم که در این گستره از احتمال بازارایی شبکه جهان کوچک است. چنین شبکه ای را توری جهان کوچک نامیدیم. در فصل 5 با وارد کردن یک پارامتر جدید به معادله ی کوراموتو، یعنی تأخیر زمانی، سعی کردیم دینامیک سیستم را پیش بینی و سپس با محاسبات عددی مشاهده کنیم. هدف از وارد کردن این پارامتر واقعی تر کردن جواب های معادله و در نظر گرفتن تأخیرهای زمانی ناشی از تبادل اطلاعات در سیستم های طبیعی بود. این تأخیرهای ناشی از تبادل اطلاعات نه تنها در همه ی سیستم ها وجود دارند،بلکه قابل اغماض نبوده و اثرات قابل توجهی در رفتار جمعی عناصر شبکه دارند. در فصل 6 نتایج مدل سازی های عددی خود بر روی هر دو نوع شبکه ی جهان کوچک را ارائه دادیم. بررسی رفتار جمعی عناصر شبکه ها با محاسبه ی مقدار پارامتر نظم شبکه که معیاری از همگامی بود انجام شد. به این منظور در مقادیر مختلف تأخیر زمانی و نیز در حالت بدون تأخیر، تغییرات پارامتر نظم شبکه ها را نسبت به تغییرات زمان مشاهده و مقایسه کردیم. در تمامی موارد به ازای مقادیر خاصی از تأخیرات جفت شدگی شاهد افت همگامی و گاهی هم شاهد حفظ یا حتی افزایش سطح همگامی سیستم بودیم. از طرف دیگر دیده شد که دینامیک بودن یا پایدار بودن سیستم هم بستگی به مقدار تأخیر دارد. در این بین به منظور آن که علاوه بر رفتار جمعی سیستم اطلاعاتی هم در مورد ساختارهای محلی شبکه به دست بیاوریم از ماتریس همبستگی استفاده کرده و در همه ی حالات ظهور و ناپدید شدن و نیز کوچک و بزرگ شدن خوشه های همگام شبکه را مشاهده نمودیم. در مورد توری جهان کوچک گذار از حالت همگام به حالت ناهمگام به صورت تقریبا ناگهانی رخ می داد که حتی در بعضی مقادیر خاص از احتمال بازارایی این گذار به صورت انفجاری بود؛ انفجاری که سیستم را از حالت همگام و پایدار به حالت ناهمگام و ناپایدار، که البته به صورت تدریجی شکل پایدار به خود می گرفت، می برد. بازگشت از این حالت نیز تقریبا مانند این بود که فیلمی که از فرآیند گرفته شده به عقب بازگردانده شود. ابتدا ناهمگامی پایدار تدریجا فرم ناپایدار به خود گرفته و سپس به طور ناگهانی تبدیل به فاز همگام و پایدار می شد. لازم به ذکر است که در تمامی محاسبات روی شبکه ها پارامتر متغیر ما در واقع ضرب فرکانس ذاتی در تأخیر زمانی بود که ما آن را به صورت یک پارامتر مجزای بی بعد در نظر گرفتیم و اثر فرکانس ذاتی را در اثر جفت شدگی ادغام کردیم. بدین صورت توانستیم جواب هایی جامع تر و شامل تر برای انواع سیستم های زیستی با هر ابعادی و هر نوع اطلاعاتی که در درونشان جابجا می کنند بدست آوریم. فقط کافیست که این سیستم بتواند با شبکه های پیچیده مدل شود.

اساتید راهنما و مشاور

فرهاد شهبازی، وحید سالاری