ویژگی های هندسی فضای همگن so(n)so(n,1)
چکیده
برگروه لی$ g=so_{0}(n,1) $، یک متریک ناوردای چپ تعریف می شود که از فرم کیلینگ-کارتان بدست می آید. زیرگروه فشرده همبند بیشین آن عبارت است از $ so(n)=so(n) imeslbrace 1 brace $که با$ k $ نمایش می دهیم.گروه طولپایی های$ g $ عبارت است از egin{equation*} isom_{0}(g)=g imes k, end{equation*} یعنی ضرب چپ توسط عضو های$ g $ و ضرب راست توسط عضو های $ k $. بنابراین، دو عمل برای $ k $ وجود دارد، $ ell(k)subset g $ و $ .r(k)=k $ نگاشت مشتق پوشای ریمانی همگن توسط $ r(k) $-عمل طولپا(که آزاد و سره است) egin{equation*} so(n) ightarrow so_{0}(n,1) ightarrow so_{0}(n,1)/so(n) end{equation*} کاملا مطالعه شده است: $ so_{0}(n,1)/so(n) $ فضای ابربریکی$ n $ -بعدی$ h^{n} $ است. هدف پایان نامه مطالعه نگاشت مشتق پوشای ریمانی همگن $ varphi $توسط $ ell(k) $-عمل بر$ so_{0}(n,1) $ است. egin{equation*} so(n) ightarrow so_{0}(n,1)longrightarrow mathcal{h}^{n}=so(n)setminus so_{0}(n,1). end{equation*} فضای $ so(n) setminus so_{0}(n,1) $ با$ h^{n} $ وابرسان است، ولی از نظر متریکی کاملا متفاوت است. بصورت صریح تر نشان داده می شود که متریک فضای $ so(n)setminus so_{0}(n,1) $ با $ h^{n} $همدیس نیست و این فضا تقارن های کمتری دارد. نتیجه های پایین در پایان نامه اثبات می شود: 1.$iso{m_0}({mathcal{h}^n}) = r(so(n))$ ، و فضا دارای نقطه ثابت $ lbracef{i} brace $ است، 2.$ mathcal{h}^{n}-lbracef{i} brace $عبارت است از ضرب تابدار $ (1,infty) imes_{e^{2varphi}}s^{n-1} $، 3. خمیدگی برشی فضا در نابرابری $ 0<kappaleq 5 $ صدق می کند و $ kappa=5 $ تنها درنقطه $ f{i} $ بدست می آید، ساختار پایان نامه چنین است. فصل اول شامل پیش نیازها است. فصل دوم به بررسی ویژگی های هندسی $ so(n)setminus so_{0}(n,1) $ می پردازد، که شامل چهار بخش است. در بخش اول، یک متریک ناوردای چپ بر $ so_{0}(n,1) $ تعریف می شود، و تجزیه ایواساوای $ kan $ برای $ g $داده می شود ،که $ k $ فشرده ، $ a $ آبلی ،و $ n $ زیر گروه پوچ توان است در این بخش فضای $ mathcal{h}^{n}=ell(k)setminus g $ معرفی می شود. بخش دو , $ mathcal{h}^{2} $را مطالعه می کند. این بخش با توصیف متریک ریمانی بر$ mathcal{h}^{2} $ آغازمی شود،این متریک بطور طبیعی از متریک $ so_{0}(2,1) $ القا می شود. اگر از دستگاه مختصات سراسری برای $ so_{0}(2,1) $ بهره بریم،$ x $،$ y $،$ z $،به ترتیب برای $ n $ ،$ a $ و $ k $ ،$ h^{2}=so_{0}(2,1)/k $ استاندارد و$ mathcal{h}^{2}=ksetminus so_{0}(2,1) $ ما دستگاه مختصات سراسری یکسانی دارند(یعنی مدل نیم صفحه بالایی) توسط صفحه$ xy $.نگاشت های مشتق پوشای ریمانی $ so_{0}(2,1) ightarrow so_{0}(2,1)/k $ و $ so_{0}(2,1) ightarrow ksetminus so_{0}(2,1) $ متریک های یکتا بر فضاهای خارج قسمتی $h^{2} $ و $ mathcal{h}^{2} $ بدست می دهد. بابهره بردن از این متریک می توان ناورداهای هندسی بسیاری را شامل گروه طولپایی های $ mathcal{h}^{2} $ و خمیدگی برشی محاسبه کرد. در بخش سه،دو هندسه $h^{2} $ و $mathcal{h}^{2} $، مدل نیم صفحه بالایی, باهم سنجیده می شود. یک نگاشت وارون سازی طبیعی بین دو فضا وجود دارد. $ mathcal{h}^{2}-lbrace i brace $ و $ h^{2}-lbrace i brace $ به صورت ضرب تابدار بیان می شود. این نمایش در محاسبه خمیدگی در بُعدهای بالاتر$ mathcal{h}^{n} $ نقش ایفا می کند. همچنین جنبه های دیگر دو هندسه ،مانند ژئودزیک ها بررسی می شود. بخش چهار گسترش نتیجه های پیشین به فضای $ -n $بعدی , $mathcal{h}^{n}$ است .دوباره، $ mathcal{h}^{n}-lbrace i brace $به صورت ضرب تابدار نوشته می شود. با بهره بردن از این حقیقت،خمیدگی برشی می تواند محاسبه شود. با شگفتی دیده می شود این خمیدگی مثبت است واز بالا باعدد $ 5 $ ,مانند حالت دو بعدی کراندار است. بازبرد اصلی این پایان نامه $ [1] $ است.