روشهای تفاضلات متناهی برای معادلات شرودینگر و بررسی پایداری روشها
چکیده
گواه تجربی عرضه شده توسط فیزیکدانان نشان می دهد که ذرات دستگاههای میکروسکوپیک طبق قوانین مربوط به نوعی حرکت موجی، حرکت می کنند و نه بنابراین قوانین حرکت نیوتنی که ذرات ماکروسکوپیک تابع آنهایند. به این ترتیب یک ذره میکروسکوپیک طوری عمل می کند که گویی وجوه معینی از رفتارش ، از رفتار موج با تابع موج دوبروی همبسته تبعیت می کند. به همین منظور در بررسی رفتار ذرات دستگاه میکروسکوپیک ، نظریه مکانیک کوانتومی شرودینگر، نقش مهمی را ایفا می کند. این نظریه، قوانین حرکت موجی را که ذرات هر دستگاه میکروسکوپیک از آن پیروی می کنند مشخص می کند. این کار از طریق مشخص کردن معادله ناظر بر رفتار تابع موج هر دستگاه و نیز مشخص کردن ارتباط بین رفتار تابع موج و رفتار ذره صورت می گیرد. در تکوین این نظریه، اروین شرودینگر در سال 1925 (1304 ه ش) معادله ای را که به نام او شهرت یافت معرفی کرد که رفتار تابع موج مورد نظر را بیان می کند. جواب های این معادله به نحوی بسیار طبیعی به کوانتش انرژی و پدیده های مهم دیگر منجر می شوند. دامنه و کاربرد این معادله در مکانیک کوانتومی فوق العاده وسیع است . نظر به اهمیت جواب این معادله، حل آن به روش عددی بخصوص برای معادله وابسته به زمان بسیار مهم است . در این رساله سعی داریم روشهای عددی برای حل معادلات شرودینگر و پایداری روشها را مورد بررسی قرار دهیم. متذکر می شویم که بنا به قضیه تعادله لکس . برای هر مساله مقدار مرزی - اولیه مناسب اگر طرح تفاضلی مربوط به آن در شرط سازگاری صدق کند پایداری شرط لازم و کافی برای همگرایی است . بنابراین در فصل دوم و فصل سونم تنها به سازگاری و پایداری روشها اکتفا می کنیم. این رساله مشتمل بر چهار فصل است . در فصل اول با مطرح کردن اشکالات فیزیک کلاسیک ، نارسایی های این فیزیک را در توجیه و توصیف سیستمهای فیزیکی در ابعاد بسیار کوچک ، توضیح داده و سپس با بیان اهمیت نظریه مکانیک کوانتومی در بر طرف کردن این نارسایی ها، به توصیف معادله شرودینگر می پردازیم. در فصل دوم با ارائه طرحهای تفاضلی برای معادله شرودینگر با ضریب ثابت (معادله ذره آزاد)، سازگاری و پایداری آنها را بررسی نموده و سپس با مقایسه طرحها، نتایج به دست آمده را برای معادله کلیتر تعمیم می دهیم در انتها یک مثال عددی ارائه خواهیم کرد. در فصل سوم با ارائه یک طرح تفاضلی صریح سه گامی برای معادله شرودینگر با یک ضریب متغیر، ضمن بررسی سازگاری طرح فوق با معادله نظیرش ، پایداری این طرح را به روش انرژی تجزیه و تحلیل می کنیم. در فصل چهارم، با گسسته سازی معادله شرودینگر درجه 3، به وسیله طرح تفاضلی متناهی نوع کرنک - نیلکسون، اثبات وجود و یکتایی جواب این روش و همچنین همگرایی آن را مورد بحث قرار می دهیم و در انتها معادلات تفاضلی حاصل از گسسته سازی را با روش نیتوتن خطی سازی می کنیم.
