تعمیم قضیه سوآن
چکیده
این پایان نامه حاوی چهار فصل است . هدف اصلی آن تعمیم قضیه سوان می باشد. در اینجا ارتباطی جالب بین یک مطلب کاملا جبری و یک خاصیت کاملا هندسی به چشم می خورد و جهت برقراری این رابطه، از ابزاری چون توپولوژی آمیخته با هندسه - آنالیز و جبر که بر ستونهای محکم نظریه بافه ها استوار شده، استفاده شده است . فصل یک مقدمات این کار را فراهم می آورد. بخش یک به معرفی و بررسی خواص حلقه توابع پیوسته و حقیقی بر فضای توپولوژیک x می پردازد و هدف آن ارائه قضیه ای است که معادل بودن فشردگی x و ثابت بودن ایده آلهای r(x) را اثبات می کند (1-1-24). مراجع این بخش (6)، (12)، (13)، و بویژه (5) می باشد. این بخش در 2-2 مورد استفاده قرار می گیرد. در بخش دوم با استفاده از تعاریف و قضایای (6) یک نتیجه از لم ناکایاما که در 4-2 مورد استفاده قرار می گیرد اثبات می شود. بخش سوم شامل نظریه کاتگوری است در این بخش چند قضیه (نظیر22 - 3 - 1 و 20 - 3 - 1) که در فصلهای بعد از آن ها استفاده می شود و موجب بیان هم ارزی در قضیه سوآن و تعمیم آن می گیرد اثبات می شود. مراجع این بخش (4)، (8) و (1) می باشد. در فصل دوم برخی از خواص نظریه بافه ها ارائه می شود و به کمک ابزار کاتگوریکی و ساختن کاتگوری بافه و پیش بافه و فضای بافه ای گروههای آبلی یا مجموعه ها مطالب مهمی نظیر 24 - 1 - 2 و 41 - 1 - 2 الی 44 - 1 - 2 اثبات می شود. در بخش دوم مطالب 1-1 مخصوصا قضیه 44 - 1 - 2 اثبات می شود. در بخش دوم مطالب 1 - 1 مخصوصا قضیه 24 - 1 - 1 تعمیم داده می شود (22 - 2 - 2) مراجع این فصل (15)، (11)، (7) و (10) می باشد. در فصل سوم نمایش حلقه و مدول را ارائه می دهیم هدف بخش اول رسیدن به قضیه ای است که وجود یک الحاقی چپ برای فانکتور سکشن را اثبات می کند (18 - 1 - 3) . در بخش دوم با استفاده از مطالب بخش قبل تعاریف جدیدی برای کاملا منظم بودن و فشردگی و پیرافشردگی فضای حلقوی ارائه می شود. لازم به ذکر است که این تعاریف در 2-2 معرفی شده اند. مراجع مورد استفاده این فصل (3)، (10)، (7) و (11) است . فصل چهارم شامل دو بخش است بخش اول به تعریف کلاف برداری می پردازد و سپس فانکتور و خواص آن را معرفی می کند و بالاخره با اثبات 27 - 1 - 4 شکل معمولی قضیه سوآن حاصل می شود در بخش دوم با استفاده از بخش قبل و فصلهای 1 تا 3 و ارائه بعضی از تعاریف و اثبات برخی از قضایا ابتدا تعمیم 27 - 1 - 4 آورده می شود (قضایای عمده ای که در بخش آخر از آنها استفاده می شود عبارتند از 16 - 2 - 3 تا 19 - 2 - 3) سپس با استفاده از مطلب توپولوژی جبری چند کاربرد جالب از قضیه سوان تعمیم یافته نشان داده می شود.