دینامیک و انتگرال پذیری معادلات سینوسی گوردون تعمیم یافته
چکیده
در این رساله ما چند موضوع مختلف را در ارتباط با معادله سینوسی گوردون مطالعه کرده ایم. معادله سینوسی گوردون را به گونه ای تعمیم داده ایم که در حالت های حدی به معادله سینوسی گوردون معمولی تبدیل می شوند. این تغییرات به سه روش مختلف انجام گرفته است . در روش اول چگالی لاکرانژی معادله سینوسی گوردون را در یک تابع نرده ای از میدان ضرب می کنیم. انرژی کل این دستگاه برای پاسخهای حالت ایستا را بدست می آوریم، و نشان می دهیم که این انرژی برای امواج منفرد متحرک در رابطه اینشتین صدق می کند. در روش دوم ضریب ثابت a در پتانسیل معادله سینوسی گوردون، v()a(1-cos)، را برای میدانهای مثبت و منفی متفاوت در نظر می گیریم. و در روش سوم، جمله ای متناسب با (1-cos2) را به چگالی لاگرانژی معادله سینوسی گوردون معمولی اضافه می کنیم. در هر حالت پاسخ تحلیلی موج منفرد را به دست آورده و بعضی از خواص دستگاه تعمیم یافته را مطالعه می کنیم. دینامیک سالیتونهای معادله سینوسی گوردون را در محیطهای ناهمگن به دو روش مطالعه می کنیم. در حالت اول ضرایب a و b را تغییر داده و آنها را تابعی از مکان در نظر می گیریم. در این حالت کینکها مشابه یک ذره کلاسیک از سد پتانسیل زمانی عبور می کنند که انرژی جنبشی آنها بیشتر از پتانسیل سد باشد. اما اگر پهنای سد به اندازه کافی کوچک باشد پدیده تونل زنی اتفاق می افتد. در حالت دوم ناهمگنی را با تبدیل کردن ضریب a به تابعی از مکان و اضافه نمودن جمله ای دیگر به معادله سینوسی گوردون وارد می کنیم. بطور تحلیلی نشان می دهیم که در این حالت حرکت مرکز جرم کینکها از قانون دوم نیوتن تبعیت می کند. در این مورد چند مثال را نیز به روش محاسبات عددی مطالعه می کنیم. در پایان به ارائه حدسی برای تعیین انتگرال پذیری یک مدل غیرخطی می پردازیم در این روش با بکارگیری روش اختلال خطی ارتباط سیتمهای غیرخطی را با انتگرال پذیری بررسی میکنیم. بر طبق این حدس ، یک سیستم در صورتی انتگرال پذیر است که معادله مقدار ویژه اختلالی مربوط به آن حداکثر دارای یک پاسخ حالت مقید با فرکانس صفر باشد، که این پاسخ نیز از تقارن سیستم حاصل می شود. دو گروه از معادلات مورد مطالعه قرار گرفته اند. در ابتدا معادلاتی را در نظر گرفته ایم که تحت تبدیلات لورنتز ناوردا باقی بمانند و سپس معادلاتی که دارای ناوردایی گالیله ای هستند.