حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری با روش تبدیل دیفرانسیل تعمیم یافته
چکیده
معادلات انتگرال یکی از ابزارهای مهم در ریاضیات کاربردی و محض است. این نوع معادلات در مدل سازی بسیاری از پدیده های غیرخطی، پدیده های فیزیکی و علوم مهندسی ظاهر می شوند. اکثر پدیده های فیزیکی و مسائل مهندسی مانند دینامیک سیالات، مکانیک کوانتومی، انتقال حرارت، رشد جمعیت و وراثت، مطالعه ی رفتار راکتورهای هسته ای ، انتقال بیماری و ... را می توان از طریق مدل سازی ریاضی آن ها درک کرد. در واقع بعد از بیان فیزیکی این مسائل می توان مدل ریاضی آن را بیان کرد که با توجه به نوع تحلیل به کار رفته و همچنین فرایند مورد مطالعه، معادلات حاصل به شکل معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات انتگرال یا معادلات انتگرال-دیفرانسیل می باشد. حال فرض کنید یک سیستم فیزیکی با استفاده از معادلات انتگرال و معادلات انتگرال-دیفرانسیل مدل سازی شده باشد. به دست آوردن جواب تحلیلی این معادلات اگر ممکن باشد، خیلی دشوار و پیچیده است. با گسترش و پیشرفت کامپیوترها و به وجود آمدن زبان های برنامه نویسی، روش های عددی که تقریبی برای جواب این نوع معادلات به دست می آورند، اهمیت ویژه ای پیدا کردند. از این رو مطالعات قابل توجه و زیادی برای حل معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل یک بعدی انجام شده است. همچنین در سال های اخیر استفاده از محاسبات کسری به طور گسترده ای در علوم مختلف مورد بررسی قرار گرفته است. از این رو حل معادلات شامل انتگرال و مشتق کسری از اهمیت خاصی برخوردار است و افراد بسیاری را برای به دست آوردن روشی سریع و کارا به تکاپو واداشته است. روش تبدیل دیفرانسیل نیز یک روش تحلیلی-تقریبی بر اساس سری تیلور می باشد. این روش نیز کارایی خود را در حل معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات انتگرال و معادلات انتگرال-دیفرانسیل نشان داده است. اهمیت پایان نامه به دلیل کاربرد برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل خطی و به ویژه غیرخطی می باشد، همچنین سرعت بالای محاسباتی نسبت به روش سری تیلور و دقت بالا و کاهش حجم محاسبات باکاهش مراحل حل سری ها، از دیگر علل اهمیت پایان نامه می باشد. این روش نتایج قابل قبولی نسبت به روش های قبلی موجود ارائه می دهد و روشی کاربردی و امیدبخش برای کلاس گسترده ای از مسائل خطی و غیر خطی در قضیه ی محاسبات کسری می باشد