خواص هندسی زیر مجموعه های محدب در فضاهای باناخ مختلط
چکیده
مهمترین قضی? در بررسی خواص هندسی زیرمجموعه های محدب ، بسته و کراندار $c$ از فضای باناخ $x$ بدون شک، قضی? بیشاپ-فلپس است که بیان می کند مجموع? نقاط محمل $c$ در مرز آن و مجموع? تابعک های محمل آن در $x^*$ چگالند. دراین رساله با تشریح مقاله ای. بیشاپ و آر . آر . فلپس (cite{bp63}) و بیان نتایج و قضایای آنها، مقدمات بیان و اثبات قضی? بیشاپ-فلپس فراهم می شود. بعد به معرفی برخی مفاهیم هندسی دیگر در گوی واحد مانند نقاط فرین، اکسپوزد، اکسپوزد قوی و ارتباط آنها با یکدیگر پرداخته می شود.چون خاصیت رادون-نیکودیم, خاصیت بیشاپ-فلپس را -که تعمیمی از قضی? بیشاپ-فلپس است- نتیجه می دهد به بیان تعریف آن و برخی مفاهیم مرتبط یا هم ارز آن پرداخته, قضایای مربوطه را بیان خواهیم کرد. با ارائ? تعریف جدید فلپس از نقط? محمل در فضاهای باناخ مختلط, مثال معروف لومونوسوف را که نشان می دهد با این تعریف، در حالت کلی، قضی? بیشاپ-فلپس در فضاهای مختلط برقرار نیست، تشریح خواهیم کرد. در فصل دوم ارتباط پروکسیمینال بودن را با قضی? بیشاپ-فلپس بیان کرده و ثابت کرده ایم اگر $g$ یک مجموع? محمل در فضای باناخ $x$ و $l^{1}(omega,g)$ یک مجموع? تجزیه پذیر باشد آنگاه هر تابع ثابت $l^{1}(omega,g)$ یک نقط? محمل آن است. همچنین اگر زیر فضای ماکسیمال $g$ یک $m$-ایده آل در فضای باناخ $x$ باشد آنگاه $l^{1}(omega,g)$ در یک زیر فضای ماکسیمال پروکسیمینال $l^{1}(omega,x)$ قرار دارد. در ادامه، برای برخی مفاهیم هندسی، در فضاهای مختلط تعاریف جدیدی مانند نقط? اکسپوزد مطلق و اکسپوزد مطلق قوی را ارائه می دهیم و با استفاده از آنها ثابت می کنیم اگر $c$ زیرمجموعه ای بسته از گوی واحد باشد و هر زیرمجموع? ناتهی $c$ گودپذیر باشد آنگاه قضی? بیشاپ-فلپس در حالت مختلط برای $c$ برقرار است. همچنین یک شرط لـازم و کـافی برای وجــود نقـطه سـاپورت زیرمجمـــوعه ای خاص از فضای «بلاخ» را بیان و اثبات می کنیم. در انتهای این فصل با یاد آوری نمایش مجموعه ای فضای $l_p(omega, x)$، تحت شرایطی و در قالب یک قضیه ثابت می کنیم اگر $f_0$ نقط? اکسپوزد قوی در $l_p(omega, g)$ باشد آنگاه به ازای هر $tin omega$، $f_0(t)$ اکسپوزد قوی نمایش مجموعه ای آن است. در ابتدای فصل سوم، شرایط لازم برای چگال بودن عملگرهایی از $l(x,y)$ که نرم خود را می گیرند، بیان می شود. برای اینکه کار نتیجه بخش شود، آنها به دو دسته تقسیم شده اند. در دسته اول $y$ را فضای دلخواه می گیریم و گوییم $x$ دارای خاصیت «a» است. برعکس در دسته دوم $x$ را فضای دلخواه می گیریم و گوییم $y$ دارای خاصیت «b» است. خاصیت «a» در واقع خاصیت بیشاپ-فلپس برای گوی واحد است. برای خاصیت «b» شرط کافی لینت شتراس بنام خاصیت «$eta$» را ثابت می کنیم. در بخش بعد شعاع عددی را معرفی می کنیم. تقریباً نظایر قضایای بخش قبل، اینجا هم قابل بیان و اثبات هستند و تشابهی خوشایند بین عملگرهایی که نرم خود را می گیرند و آنهایی که شعاع عددی خود را می گیرند، مشاهده می شود. در ادامه در مورد توابع تمام ریختی که نرم خود را می گیرند و آنهایی که شعاع عددی خود را می گیرند، بحث می شود. سپس برخی نتایج جدید خود را ثابت می کنیم. در انتها، چند مسئله باز را که در انجام این تحقیق به آنها رسیده ایم بیان می کنیم.