بحثی در اندازه های قابلیت اعتماد توزیع های طول عمر آمیخته
چکیده
اگر چه اکثر مطالعات روی اندازه های قابلیت اعتماد در حالت همگن صورت گرفته است با این وجود در دنیای واقعی به ندرت می توان جوامع همگن را یافت. نادیده گرفتن ناهمگنی موجود می تواند منجر به خطاهای اساسی در تحلیل های مربوط به قابلیت اعتماد شود. توزیع های آمیخته معمولاً یک ابزار موثر برای مدل بندی ناهمگنی موجود در جوامع به شمار می روند. هدف اصلی این رساله مدل بندی اندازه های قابلیت اعتماد برای جوامع ناهمگن می باشد و بررسی این مطلب که رفتار اندازه های قابلیت اعتماد از جمله نرخ شکست، نرخ شکست معکوس، میانگین باقیمانده عمر زیر جوامع چه تأثیری روی رفتار اندازه های قابلیت اعتماد آمیخته دارد. بدین مظور ابتدا به بررسی ویژگی های نرخ شکست آمیخته می پردازیم. ابتدا نشان می دهیم که اگر چه آمیخته توزیع هایی با نرخ شکست نزولی، همیشه نرخ شکست نزولی دارد اما کلاس توزیع هایی با نرخ شکست صعودی تحت عملگر آمیخته بسته نیست و نرخ شکست آمیخته می تواند در بعضی فواصل نزولی باشد. به این معنی که عملگر آمیخته می تواند الگوی رفتاری نرخ شکست را از صعودی به نزولی تغییر دهد. با این حال بررسی رفتار نرخ شکست حتی برای ساده ترین توزیع های آمیخته به راحتی امکان پذیر نیست. لذا به منظور سادگی، آمیخته دو توزیع که نرخ شکست آن ها به طور خطی صعود می کنند را در نظر می گیریم و رفتار نرخ شکست آمیخته را در دو حالت غیر متقاطع بودن نرخ های شکست و متقاطع بودن نرخ های شکست مورد مطالعه قرار خواهیم داد. اما رفتار حدی تابع نرخ شکست آمیخته نیز از اهمیت زیادی برخوردار است و شرایطی را ارائه می دهیم که نرخ شکست آمیخته به نرخ شکست قوی ترین توزیع در آمیخته نزول می یابد.نرخ شکست معکوس به دلیل نقش مهمی که در قابلیت اعتماد، علوم پزشکی، تحلیل بقا و زمینه های دیگر کاربرد احتمال دارد مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته است. به همین منظور در فصل چهارم ویژگی های نرخ شکست معکوس آمیخته را مورد بررسی قرار می دهیم. ابتدا به مطالعه ویژگی های یکنوایی و ترتیبی نرخ شکست معکوس آمیخته می پردازیم و نشان می دهیم که نرخ شکست معکوس توزیع آمیخته تنها تحت نزولی بودن نرخ شکست معکوس زیر جوامع نزولی نخواهد بود و به شرط دیگری نیز نیاز دارد. در کنار تابع نرخ شکست و نرخ شکست معکوس، میانگین باقیمانده عمر نقش مهمی در نظریه قابلیت اعتماد و تحلیل بقا ایفا می کند. بعضی مواقع تحلیل ویژگی های سالخوردگی توزیع های طول عمر از طریق میانگین باقیمانده عمر معقول تر به نظر می رسد. ابتدا ویژگی های یکنوایی و ترتیبی میانگین باقیمانده عمر آمیخته را مورد بررسی قرار می دهیم و رفتار آن را با استفاده از ارتباطی که با نرخ شکست دارد تعیین می کنیم. از طرفی همان گونه که بیان شد ویژگی های حدی توزیع های طول عمر از اهمیت زیادی برخوردار است که علاوه بر نرخ شکست، میانگین باقیمانده عمر نیز در تعیین این ویژگی ها به ما کمک می کند. جالب این است که با بررسی رفتار حدی میانگین باقیمانده عمر آمیخته به نتایج مشابه با نرخ شکست خواهیم رسید. یعنی تحت شرایطی رفتار میانگین باقیمانده عمر آمیخته مجانباً مشابه با رفتار میانگین باقیمانده عمر قوی ترین توزیع در آمیخته می باشد.