انعکاسی بودن و وابستگی خطی موضعی عملگرهای خطی
چکیده
نمایش ماتریسی عملگرهای خطی روی فضاهای با بعد متناهی ازار منحصر به فردی برای بررسی این دسته از عملگرهای خطی است. چند جمله ای ویژه آنها با توسل به دترمینان و به تبع آن مقادیر ویژه به سادگی قابل محاسبه است. قضیه کیلی همیلتون نشان می دهد چندجمله ای ویژه، پوچ ساز عملگر خطی است. از مقایسه چند جمله ای کمین (مولد پوچ ساز عملگر خطی) و چندجمله ای ویژه اطلاعات مفیدی در خصوص عملگر خطی حاصل می شود. کاپلانسکی با اندکی تعدیل در مقایسه وابستگی خطی و وابستگی خطی موضعی، این مفاهیم را به عملگرهای خطی روی فضاهای نامتناهی البعد گسترش داد. در واقع کیلی همیلتون روی فضای متناهی البعد و کاپلانسکی روی فضاهای نامتناهی البعد نشان دادند که مجموعه عملگرهای موضعاً وابسته خطی، وابسته خطی هستند. در فصل اول ثابت می کنیم که فضای تولید شده توسط خانواده ای از عملگرهای موضعاً وابسته خطی دارای عملگری پوچ توان است. چون استقلال و وابستگی موضعی از وجود بردارهای جداساز تاثیر می پذیرد در فصل دوم به بیان تعریف بردار جداساز و ویژگی های بردارهای جداساز یک فضا می پردازیم. در فصل سوم ثابت می کنیم که زیر فضای nبعدی از فضای عملگرهای خطی متشکل از تمام عملگرهای غیر صفر با رتبه بزرگتر از nباشد، دارای بردار جداساز می باشد. در فصل سوم به کمک عملگرهای موضعاً وابسته خطی فضای انعکاسی را تعریف می نماییم. لی و پن در سال 2003 ثابت نمودند که زیر فضای n بعدی از فضای عملگرهای خطی متشکل از تمام عملگرهای غیر صفر با رتبه بزرگتر یا مساوی n^2 باشد، زیر فضایی انعکاسی است. بعلاوه به گسترش مفاهیم فوق می پردازیم و رابطه میان انعکاسی بودن زیرفضا و بردار جداساز داشتن فضا را بررسی می نماییم. در فصل چهارم شبکه و فرم های مقدماتی روی فضای موضعاً محدب را تعریف می نماییم. و به بیان ارتباط بین انعکاسی بودن زیرفضا و شبکه زیرفضاهای پایا می پردازیم. در ادامه این فصل، رابطه ای که میان فرم های مقدماتی و زیرفضاهای پایا وجود دارد را مشخص می سازیم.