خطوط در فضا زمان ها
چکیده
فرض کنید $ m $ یک فضا-زمان جهت پذیر باشد که تمامی ژئودزی های شبه زمان آن کامل باشند و شامل یک ابر سطح فشرده ی شبه مکان و غیر علّی مانند $ s $ باشد. طبق فرضیه ای از بارتنیک اگر $ m $ در شرط همگرایی شبه زمان(شرط انرژی قوی) صدق کند می توان آن را به صورت فضا $ imes $ زمان در نظر گرفت. یعنی با فضا $ imes $ زمان ایزومتر است. به چنین فضا زمانی جدایی پذیر گوییم. از طرفی با توجه به قضیه ی جدایی پذیری لرنسی اگر یک خط یعنی یک ژئودزی شبه زمان کامل در فضا-زمان وجود داشته باشد $ m $ جدایی پذیر است. امّا بدون شرط همگرایی شبه زمان ممکن است این چنین خطی موجود نباشد. در اینجا شرطی روی $ m $ می گذاریم تا وجود این خط را تضمین نماید. این شرط وجود یک $ -s $ شعاع مانند $ gamma $ است بطوریکه $ s $ زیر مجموعه ی $ i^{-}(gamma) $ باشد. برای این منظور ابتدا در فصل اول به بیان مطالبی از هندسه ی دیفرانسیل، ریمانی و لرنسی می پردازیم که در تعریف و اثبات مطالب مورد نظر به آنها نیاز داریم. در فصل دوم ساختار علّی فضا-زمان ها را مطالعه می کنیم و در فصل آخر به اثبات مطلب اصلی می پردازیم. در این فصل ابتدا منحنی های حدی را مورد مطالعه قرار می دهیم و لم منحنی حدی را بیان می کنیم که طبق آن از هر نقطه ی حدی یک دنباله از منحنی ها یک منحنی حدی آن دنباله از آن نقطه می گذرد. سپس به بررسی بعضی خواص تابع طول قوس لرنسی پرداخته و ثابت می کنیم که از بالا نیم پیوسته است. آنگاه به تعریف و اثبات چندین لم در مورد شعاعها، هم شعاع ها و توابع بوزمان می پردازیم. سپس به تعریف و بررسی سطوح شبه زمان می پردازیم و نشان می دهیم که شعاع های این سطوح شبه زمان می باشند و با استفاده از آن نشان می دهیم که اگر $ s $ یک ابر سطح فشرده ی غیر علّی شبه مکان باشد آنگاه یک $ -s $ شعاع شبه زمان در $ d^{+}(s) $ وجود دارد. سپس نشان می دهیم که وجود چنین ابر سطحی همراه با فرض کامل بودن تمامی ژئودزیهای شبه زمان نتیجه می دهد که تمامی شعاع های این ابر سطح در $ d^{+}(s) $ بوده و تمامی هم شعاع های آنها شبه زمان می باشند. سپس با استفاده از این نتایج نتیجه ی اصلی یعنی وجود خط شبه زمان در حالتی که $ s subset i^{-}(gamma) $ را ثابت می کنیم. در آخر نیز با استفاده از این نتیجه و قضیه ی جدایی پذیری لرنسی نشان می دهیم که وجود شعاع $ gamma $ که در رابطه ی فوق صدق کند، نتیجه می دهد که فضا-زمان جدایی پذیز است.