حلقه های کوته چپ و مدول های c-تصویری محض
چکیده
در این رساله ما بخشی از سو?ال کوته را که در مرجع [11] بیان شده پاسخ می دهیم: کدام حلقه های r هستند که هر -rمدول چپ (چپ و راست) مجموع مستقیمی از -rمدول های دوری است؟ فرض کنیم r حلقه ای باشد که عناصرخودتوان آن مرکزی باشند. ثابت خواهیم کرد که اگر r حلقه ی کوته چپ (یعنی، هر -rمدول چپ مجموع مستقیمی از -rمدول های چپ دوری است) باشد، آن گاه r حلقه ایدآل راست اصلی آرتینی است. این نتیجه می دهد که، r یک حلقه کوته (یعنی، هر r- مدول چپ و راست مجموع مستقیمی از -rمدول های دوری است) است اگر و تنها اگر r یک حلقه ایدآل اصلی آرتینی باشد. این تعمیمی از قضیه ی کوته-کوهن-کاپلانسکی در مراجع [11] و [37] می باشد. همچنین یک سو?ال طبیعی جالب در این راستا این است که آیا اگر در بالا فرض کنیم هر ایدآل مجموع مستقیمی از مدول های دوری باشد، باز هم قضایا برقرار هستند؟ در این رساله به این سو?ال در حالتی که حلقه ی r حاصل ضرب تعداد متناهی حلقه ی موضعی نوتری تعویض پذیر باشد پاسخ می دهیم. ساختار چنین حلقه هایی را به طور کامل شرح می دهیم و در واقع یک مشخص سازی از حلقه های آرتینی تعویض پذیر با این خاصیت به دست می آوریم. همچنین در این رساله به مطالعه ی حلقه های تعویض پذیر که هر ایدآل اول شان مجموع مستقیمی از مدول های دوری است می پردازیم. در حالتی که حلقه ی r حاصل ضرب تعداد متناهی حلقه ی موضعی تعویض پذیر است ساختار چنین حلقه هایی را به طور کامل شرح می دهیم. به علاوه برای یک حلقه موضعی نوتری تعویض پذیر (r, m) نشان می دهیم برای بررسی این که چه موقع هر ایدآل اول r مجموع مستقیمی از حداکثر n مدول دوری است، کافی است ایدآل ماکسیمالm را بررسی کنیم. در پایان به بررسی ساختار مدول های -cتصویری محض می پردازیم. در این راستا نشان می دهیم که حلقه r نوتری چپ است اگر و تنها اگر هر -rمدول چپ -cتصویری محض، تصویری محض باشد. همچنین روی یک حلقه نوتری موروثی چپ rثابت می کنیم که یک -rمدول چپ m، -cتصویری محض است اگر و تنها اگر m=n+ p که در آن n مجموع مستقیمی از -rمدول های چپ دوری و p یک -rمدول چپ تصویری می باشد. در ادامه رابطه ی مدول های -cتصویری محض را با مدول های تصویری محض و مدول های -rd-تصویری مورد مطالعه قرار می دهیم. در این راستا نشان می دهیم برای یک حلقه موضعی دئو r، رده -rمدول های چپ تصویری محض و رده -rمدول های چپ -cتصویری محض منطبق اند اگر و تنها اگر r یک حلقه ایدآل اصلی باشد. همچنین برای یک حلقه ی تام چپ دئو r، رده -rمدول های چپ تصویری محض و رده -rمدول های چپ -cتصویری محض منطبق اند اگر و تنها اگر r یک حلقه کوته باشد. به علاوه حلقه های تعویض پذیری را که رده مدول های -cتصویری محض و رده مدول های -rdتصویری منطبق اند را مشخص سازی می کنیم. در واقع ثابت می کنیم که اگر r یک p.pحلقه چپ باشد که هر -rمدول -cتصویری محض،-rdتصویری باشد، آن گاه r یک حلقه نوتری چپ و موروثی چپ می باشد. سپس ثابت می کنیم که اگر r تعویض پذیر باشد عکس این قضیه نیز برقرار است، ولی با مثالی نشان می دهیم که عکس این قضیه در حالت تعویض ناپذیر لزوماً برقرار نیست.