پیوستگی خودکار توابع در جبرهای توپولوژیکی
چکیده
اولین چیزی که پس از شنیدن کلمه پیوستگی به ذهن کسی که با ریاضیات آشنایی مختصری دارد خطور می کند روش اپسیلون- دلتا می باشد, یا قضیه معروف آنالیز ریاضی که بیان می کند "یک نگاشت پیوسته است اگر و تنها اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز (بسته), باز (بسته) باشد." پیوستگی یک خاصیت توپولوژیکی است. بعضی از توابع علاوه بر خواص توپولوژیکی دارای خواص جبری نیز هستند که پیوستگی را می توان با استفاده از آنها نیز ثابت کرد. در این پایان نامه نیز وقتی صحبت از پیوستگی خودکار تابعی می شود منظور همان است.به عنوان مثالی از توابعی که به طور خودکار پیوسته هستند می توانیم به قضایای زیر اشاره کنیم: الف) هر نگاشت خطی بین دو فضای برداری که بعد دامنه متناهی باشد پیوسته است ب) هر تابعک خطی ضربی روی جبرهای باناخ پیوسته است. شصت سال پیش در سال 1952 ارنست مایکل سوالی با این عنوان طرح کرد که آیا هر تابعک خطی ضربی روی جبرهای فرشه به طور خودکار پیوسته است یا نه؟ در طول این سالها ریاضیدانان روی این سوال بسیار کار کردند اما نتایج اندکی حاصل شد. در واقع نه توانستند به سوال مایکل جواب مثبت دهند و نه توانستند مثال نقضی برای آن ارائه دهند. اما با ایجاد تغییزاتی در سوال مایکل به سوالات جدیدتری پاسخ داده شد. برای مثال در سال 1991 و 1993 ماریا فراغلوپلو و در سال 2008 هنری و نجفی پیوستگی خودکار را برای همومورفیسم ها بررسی کردند و یا در سال 2005 حجازیان, میرزاوزیری و مصلحیان پیوستگی خودکار -nهمومورفیسم ها را مورد بررسی قرار دادند. البته در این میان در سال 2001 ریاضیدانی به نام لایوونی ادعا نمود که به سوال مایکل پاسخ مثبت داده و حتی اثبات خود را در مجله ای در بلژیک چاپ نمود اما بعد از مدتی مشخص شد که اثبات ارائه شده ایراد داشته و سوال مایکل همچنان به عنوان یک سوال باز مطرح است. این پایان نامه براساس مقاله شماره 11 است و شامل 4 فصل می باشد. در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی را ارائه می دهیم که در فصل های بعدی مورد نیاز است. طیف, شعاع طیفی, جبرهای ساده, شبه ساده و به طور قوی شبه ساده و همچنین مفهوم -nهمومورفیسم را معرفی می کنیم که در واقع گسترش همومورفیسم است. در فصل دوم ابتدا صورت قضیه جانسون را بیان می کنیم و سپس سعی می کنیم با بیان قضایایی دیگر زمینه را برای گسترش قضیه جانسون فراهم کنیم و سرانجام نتایجی از این گسترش به دست خواهیم آورد. فصل سوم را نیز با بیان قضیه ریکارت آغاز و پس از بیان قضایایی می توانیم قضیه ریکارت را نیز گسترش دهیم. و در انتها در فصل چهارم پیوستگی خودکار-nهمومورفیسم ها را روی جبرهایc-ستاره موضعاً محدب ضربی بررسی می کنیم. لازم به ذکر است که در این پایان نامه همه تعریف ها، لم ها، قضایا، ملاحظه ها و نتایج، شماره متوالی دارند. بعنوان مثال، در بخش 3 از فصل اول، چهارمین عنوان دارای شماره 4-3-1 می باشد.