کاربرد روش اختلال هموتوپی برای مسائل مقدار اولیه کسری
چکیده
بعد ازظهورابررایانه ها، مشکل پیدا کردن جواب مسائل خطی تقریباً حل شده است. باوجود این، هنوز حل مسائل غیرخطی، بالاخص یافتن جواب تحلیلی این نوع مسائل آسان نیست. هر چند تکنیک های حل تحلیلی مسائل غیرخطی پیشرفت چشم گیری داشته است،اما هنوز نتوانسته است به طور کامل رضایت ریاضی دانان را جلب نماید. تکنیک های اختلالی از جمله روش های پرکاربرد برای بدست آوردن جواب های تحلیلی مسائل غیرخطی است که نتایج بدست آمده از این روش ها، بسیار جالب و ازاهمیت ویژه ای برخوردارند.این پایان نامه که بر اساس مراجع [2و3]تنظیم شده است، شامل چهار فصل است . که در آن به کاربرد روش های اختلال هموتوپی جهت بدست آوردن جواب های تحلیلی معادلات و دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری پرداخته می شود. در فصل اول، با ارائه ی مقدمه ای بر حسابان کسری به بیان تاریخچه ای کوتاه برپیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخته ایم. در ادامه با معرفی فضاهای تابعی موردنیاز، تعاریف انتگرال و مشتقات کسری را ارائه و قضایای اساسی و مورد نیاز برای مباحث آتی را بیان کرده ایم. در نهایت این فصل را با معرفی توابع میتاگ-لفلر و بیان قضایای وجود و یکتایی معادلات دیفرانسیل کسری به پایان خواهیم رساند. فصل دوم را با عنوان روش اختلال هموتوپی و کاربردهای آن نامگذاری کرده ایم. مطالب این فصل را در پنج بخش مجزا بیان کرده ایم. به این ترتیب که با ارائه ی مقدمه ای کوتاه بر روش های اختلال، روش های اختلال هموتوپی و روش اختلال هموتوپی اصلاح شده، به تشریح هر یک از روش ها و بیان مزایا و معایب این روش ها پرداخته ایم .قابل ذکر است که کارایی تمامی روش های های بیان شده را با ارائه ی مثال هایی نشان داده ایم. در فصل سوم با ارائه ی مقدمه ای بر مسائل مقدار اولیه ی کسری از نوع کاپوتو و بیان تاریخچه ای بسیار کوتاه در ارتباط با روش های عددی و تحلیلی ارائه شده، به بیان اصلی مسئله پرداخته، سپس در بخش هایی مجزا به تشریح روش های اختلال هموتوپی و اختلال هموتوپی اصلاح شده روی مسائل مقدار اولیه ی کسری کاپوتو می پردازیم. این فصل رانیز با ارائه ی مثال هایی کاربردی به پایان خواهیم برد. در فصل چهارم نیز دقیقاً مشابه فصل سوم عمل می کنیم. با این تفاوت که به جای حل معادلات دیفرانسیل کسری با مقدار اولیه به حل دستگاه معادلات دیفرانسیل با مقادیر اولیه خواهیم پرداخت. شایان ذکر است که اکثر مسائل فیزیکی درگیر با معادلات دیفرانسیل کسری، به صورت دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری است.