استفاده از توابع پایه نمایی در حل معادله دیفرانسیل الاستیسیته غیر محلی
چکیده
زمانی که اندازه مواد در مقیاس نانو قرار می گیرد خصوصیات آن ها از قبیل رنگ، استحکام و خصوصیات مکانیکی به شدت تغییر پیدا می کند. از میان خصوصیات این مواد، بررسی رفتار مکانیکی آن ها در حوزه مهندسی سازه قرار می گیرد. برای بررسی رفتار مواد، نیاز به دانستن تئوری حاکم بر آن ها می باشد بنابراین در این پایان نامه در ابتدا چند تئوری غیرمحلی محیط پیوسته ی ایجاد شده در حوزه مکانیک نانو مواد ارائه می شود. در این تئوری ها مجموعه اتم ها و فضای خالی به عنوان یک ماده پیوسته در نظر گرفته می شوند و پس از ساده سازی، خصوصیات غیرمحلی فقط در رابطه میان تنش و کرنش بیان می گردد. از میان این تئوری ها، تئوری انتگرالی ارینگن به عنوان مدل رفتاری حاکم بر نانو مواد انتخاب گردیده است. پس از بیان معادلات، برای حل مسائل مقدار مرزی دو روش نیمه تحلیلی و استفاده از توابع پایه نمایی مورد بررسی قرار می-گیرد. در روش نیمه تحلیلی، میدان کرنش یا میدان جابجایی مجهول در مسائل معین، توسط توابع کامل مثلثاتی و چندجمله ای های چبیشف تخمین زده می شود و بر اساس تئوری کار مجازی ضرایب مجهول این توابع محاسبه می شوند. نتایج حاصل از این روش دارای دقت زیادی می باشد و به عنوان مبنا در مطالعات دیگر قابل استفاده است. روش استفاده از توابع پایه نمایی به عنوان روش اصلی مورد استفاده در این پایان نامه، بر پایه تخمین میدان جابجایی با استفاده از پایه های نمایی صادق در معادله دیفرانسیل تعادل استوار است ولی از آنجا که معادله دیفرانسیل غیرمحلی دارای ضرایب ثابت نمی باشد، پایه های به کار رفته فقط در ناحیه ای محدود از عضو در معادله تعادل صدق می کنند بنابراین برای تعیین ضرایب مجهول این توابع نیاز به المان بندی عضو و استفاده از روش وزنی می باشد. این روش ابتدا در حل مسائل یک بعدی با معادله تعادل همگن (بدون نیروی بدنه) مورد استفاده قرار می گیرد و پس از آن حل مسائل غیرهمگن (با وجود نیروی بدنه) مد نظر می باشد. همین روند در مسائل دو بعدی نیز دنبال می شود. در مسائل غیرهمگن جواب خصوصی نیز به صورت مجموعی از توابع نمایی طبق الگویی خاص تخمین زده می شود. بسیاری از نتایج به دست آمده در این پایان نامه برای اولین بار ارائه می شوند.