مکمل یک d-درخت کوهن-مکالی است
چکیده
در این پایان نامه به بررسی مقالات [9] و [17] خواهیم پرداخت که موضوع آن در رابطه با جبر جا به جایی ترکیبیاتی است. جبر جا به جایی ترکیبیاتی شاخه ای نسبتاً جدید و به سرعت در حال رشد از ریاضیات است که در اواسط دهه 1970 توسط هاکستر و استنلی پایه گذاری شد. این شاخه از ریاضیات که در فصل مشترک دو شاخه قدیمی تر جبر جا به جایی و ترکیبیات قرار دارد به بررسی اشیاء ترکیبیاتی با استفاده از ابزارهای جبری مانند حلقه، ایده آل و... می پردازد. نقطه عطف توسعه این شاخه را می توان کار استنلی در اثبات حدس کران بالا برای کره ها با استفاده از نظریه حلقه های کوهن- مکالی دانست. ما در این پایان نامه گراف ها را با استفاده از ایده آل های یالی مورد مطالعه قرار می دهیم. فرض کنید g گرافی ساده و بدون جهت روی مجموعه رئوس v(g)={v_1,…,v_n } و با مجموعه یال های e(g) باشد. هم چنین فرض کنید s=k[x_1,…,x_n ] حلقه چند جمله ای های n متغیره باشد که در آن k یک میدان است. با یکسان سازی رأس v_i با متغیر x_i به ازای i=1,…,n، ایده آل تک جمله ای خالی از مربع i(g)=(x_i x_j?{v_i,v_j }?e(g) ) را به گراف g وابسته می کنیم.i(g) را ایده آل یالی g می نامیم. در کنار این شیءِ جبری، همبافت ساده گون ?_g را به گراف g نظیر می کنیم که ویژگی های زیبای بسیاری را از گراف g منعکس می کند. ?_g را همبافت مستقل g می نامیم و آن را چنین تعریف می کنیم. ?_g={f?v(g)?باشد g در مستقل مجموعه یک f} که منظور از مجموعه مستقل f?v(g) در g، مجموعه ای است که هیچ دو عضوی از آن در g مجاور نباشند. به لحاظ تاریخی، ایده آل های یالی ابتدا توسط ویلاریل در [24] معرفی شدند. او نشان داد که این ایده آل ها اشیاء جبری مناسبی برای گراف ها هستند. پس از آن، این موضوع به سرعت مورد استقبال پژوهشگران واقع شد و در دست نوشته های فراوانی به این موضوع پرداختند که از آن جمله می توان به [10]، [14]، [15] و [25] اشاره داشت. یکی از سرفصل های نو در جبر جا به جایی بررسی ویژگی های گراف g از راه بررسی ویژگی های حلقه s?(i(g)) است و بالعکس. از طرفی حلقه های کوهن- مکالی مورد توجه زیاد کسانی است که در جبر به جایی کار می کنند. در نتیجه جریان ویژه ای روی این مسئله متمرکز شده که گراف g دارای چه ویژگی هایی باشد تا حلقه s?(i(g)) کوهن- مکالی شود. گراف هایی با این ویژگی را گراف های کوهن- مکالی گوییم. مسأله عمده در این رابطه طبقه بندی تمام گراف های متناهی کوهن- مکالی روی میدان دلخواه k است. اما هم چنان که در [14] اشاره شده است، این مسأله معادل است با طبقه بندی تمام همبافت های ساده گون کوهن- مکالی روی میدان k که کار دشواری به نظر می آید. براین اساس، طبیعی است که محققان به مطالعه رده های خاصی از گراف های کوهن- مکالی بپردازند. گراف های کوهن- مکالی در چندین نوشتار بررسی شده اند. برای مثال می توان در [25] ساختارهایی از گراف های کوهن- مکالی و ویژگی هایی در مورد گراف های کوهن- مکالی دو بخشی یافت. گراف های کوهن- مکالی دو بخشی در [12] توصیف شده اند. هرزوگ، هیبی و ژنگ نشان دادند که یک گراف وتری کوهن- مکالی است اگر و تنها ناآمیخته باشد (به [14] مراجعه کنید). به ویژه این مطلب در مورد درخت ها و جنگل ها صدق می کند. در این نوشتار ما ثابت می کنیم که مکمل یک d- درخت کوهن- مکالی است. این مطلب ما را قادر می سازد تا مثال های فراوانی از گراف های کوهن- مکالی به دست آوریم. برای این کار ما از قضیه ای از فروبرگ استفاده نموده ایم که در آن شرطی را برای اینکه حلقه استنلی – ریسنر یک همبافت ساده گون با تحلیلی دو خطی، کوهن- مکالی باشد، داده شده است. حلقه استنلی- ریسنر، حلقه ای خارج قسمتی است که با یک همبافت ساده گون متناظر می شود. به بیان دقیق تر، اگر? یک همبافت ساده گون روی مجموعه رئوس v={v_1,…,v_n } باشد و i_? ایده آل تولید شده توسط تک جمله ای های خالی از مربع متناظر با غیر وجه های ?، آنگاه حلقه استنلی – ریسنر ? را حلقه خارج قسمتی k[?]=s?i_? در نظر می گیریم. در ادامه ما نشان می دهیم که مکمل یک d- درخت پوسته پذیر محض است.گراف g را پوسته پذیر محض گوییم هر گاه همبافت ساده گون ?_g پوسته پذیر محض باشد. یکی از ویژگی های مهم همبافت های ساده گون پوسته پذیر محض که منسوب به هاکستر [16] است، این است که حلقه استنلی- ریسنر آنها روی هر میدانی، کوهن- مکالی است. بنابراین حکم اخیر در واقع تعمیمی از حکم قبل است.