محاسبه رتبه خانواده ای از خمهای بیضوی با درجه ?
چکیده
خمهای بیضوی از مطالعه روی توابع بیضوی نشئت گرفته است که نتیجه کار ریاضیدانانی چون وایرشتراس، آبل و ژاکوپی می باشد. یک خم بیضوی با معادله y^2=x^3+ax+b تعریف می شود که برای ضرایب گویای a و b مقدار عبارت 4a^3+27b^2 ناصفر است. جوابهای گویای این خم تشکیل گروهی به نام مردل- ویل با نماد (e(q می دهد. در سال 1901 هنری پوانکاره حدس زد که این گروه متناهی مولد است. در سال 1922 ساختار e(q) توسط لوئیس مردل تعیین و در رساله آندره ویل در سال 1928 تعمیم داده شد. گروه e(q) به افتخار این دو ریاضی دان معمولا گروه مردل-ویل e نامیده می شود. لوئیس مردل ثابت کرد که این گروه با جمع مسقیم زیرگروه تابدار (e(q و کپی هایی از z یکریخت است. تعداد کپی های z را رتبه خم e گویند و با r نشان می دهند. که پیدا کردن ان کاری بسیار مشکل است و تا کنون خمهای محدودی با رتبه های خاص شناخته شده اند. در فصل اول این پایان نامه به بیان مفاهیم اولیه خمهای بیضوی که در بالا خیلی مختصر به ان اشاره شد، پرداخته ایم. برای پیدا کردن رتبه یک خم نیاز به مفاهیمی به نام 2- سلمر گروه و گروه شفروویچ- تیت داریم که در فصل دوم به انها اشاره شده است. مهمترین حدس مربوط به رتبه یک خم منسوب به بیرچ و سوئینرتون- دایر می باشد که در فصل سوم بیان شده است. هدف اصلی این پایان نامه، بیان شده در فصل 4، مطالعه بر روی خمهایی با زیرگروه تابدار z_2*z_8 و رتبه 4 می باشد که پس از بررسی مشاهده شد که چنین خمی وجود ندارد. نهایتاْ از آنجا که علوم کامپیوتر در ریاضیات نقشی تسهیل کننده دارند، بعضی از دستورات مرتبط با خمهای بیضوی در برنامه ای به نام سیج را در انتهای هر فصل آورده ایم.