روشهای تکراری جدید مبتنی بر شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب برای حل معادلات ماتریسی خطی
چکیده
در این رساله دو روش مبتنی بر شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب برای حل معادلات ماتریسی خطی به شکل $axb=c$ و $ax+xb=c$ ارائه می شوند. در هر یک از این روشها با به کار بردن تکرارهای تو در تو، ابتدا در هر تکرار داخلی یک معادله ماتریسی را حل کرده و جواب این معادله داخلی را به عنوان تقریبی از جواب معادله اصلی در نظر گرفته و تکرارهای بیرونی را تا رسیدن به جواب معادله ادامه می دهیم. روش اول که روش گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو (nscg) نامیده می شود، برای معادلات ماتریسی مناسب است که ماتریسهای ضرایب آنها نیمه معین مثبت و حداقل یکی از این ماتریسهای ضرایب معین مثبت باشند. در این روش قسمتهای هرمیتی ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی به کار می روند و در هر تکرار بیرونی، معادله داخلی با روش گرادیان مزدوج (cg) حل می شود. در روش دوم که مانده نرمال گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو (ns-cgnr) می باشد، از قسمتهای هرمیتی اریب ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی استفاده می شود و در هر تکرار بیرونی، معادله داخلی را با روش مانده نرمال گرادیان مزدوج (cgnr) حل می کنیم. شرایط همگرایی برای هر دو روش به صورت عمیق بررسی می شوند و کارایی این روشها در مقایسه با برخی روشهای تکراری متداول در مثالهای عددی متعددی نشان داده شده است. همچنین، با استفاده از مثالهای عددی، نشان داده ایم که به کار بردن شکاف مربوط به روشهای جدید ارائه شده به عنوان پیش شرط شکافی برای روشهای زیرفضای کریلف، می تواند باعث بهبود کارایی روشهای زیرفضای کریلف شود.