درباره ی گراف های الحاق و اشتراک زیرگروه های یک گروه متناهی

هادی احمدی

چکیده

فرض کنید $g$ یک گروه متناهی غیریکریخت با یک $p$-گروه دوری ($p$ عدد اول) باشد. گراف الحاق زیرگروه های $g$ را با $delta(g)$ نشان می دهیم. مجموعه ی رئوس این گراف، متشکل از زیرگروه های سره ی $g$ است که در زیرگروه فراتینی قرار ندارند و دو رأس $h$ و $k$ با هم مجاور هستند هرگاه $g=langle h, k angle$. نشان می دهیم که این گراف همبند و قطر آن حداکثر ? است. عدد رنگی و عدد خوشه ای این گراف با هم برابر و برابر با تعداد زیرگروه های ماکسیمال گروه است. اگر عدد استقلال گراف حداکثر ? باشد، گروه مورد نظر حل پذیر است. هم چنین گروه های متناهی دارای گراف الحاق منظم و گراف های متناظر این گروه ها را رده بندی می کنیم. از لحاظ تاریخی، یکی از مسائل قابل توجه در مورد گراف هایی که روی مشبکه ی زیرگروه های یک گروه معرفی شده اند، مسطح بودن گراف است. مساله ی مسطح بودن $delta(g)$ را به طور مفصل مطالعه و گروه های متناهی دارای گراف الحاق مسطح زیرگروه ها را رده بندی می کنیم. نتیجه ی اصلی به دست آمده، نشان می دهد که تنها خانواده هایی از گروه های ابرحل پذیر دارای گراف الحاق مسطح هستند. فرض کنید $g$ یک گروه متناهی غیریکریخت با گروه دوری مرتبه اول باشد. گراف اشتراک زیرگروه های $g$ را با $gamma(g)$ نشان می دهیم. مجموعه ی رئوس $gamma(g)$ متشکل از همه ی زیرگروه های سره ی $g$ است و دو رأس $h$ و $k$ با هم مجاور هستند هرگاه اشتراک نابدیهی داشته باشند. این گراف را می توان دوگان گراف $delta(g)$ در نظر گرفت. در این تحقیق مساله ی رده بندی گروه های متناهی دارای گراف اشتراک مسطح را به طور کامل بررسی می کنیم. نتیجه ی به دست آمده نشان می دهد که تنها خانواده هایی از گروه های حل پذیر که تعداد شمارنده های اول مرتبه ی آن ها حداکثر ? تا و مجموع توان های این شمارنده های اول حداکثر ? است، دارای گراف اشتراک مسطح هستند که این گروه ها را با مولدها و روابطشان دقیقا مشخص می کنیم.

اساتید راهنما و مشاور

بیژن طائری، علیرضا عبداللهی