توسیع توابع محدب
چکیده
در این رساله مفهوم تابع $eta$-محدب به عنوان تعمیم تابع محدب ارائه و به صورت پایه ای خواص آن مورد بررسی قرار می گیرد. با ارائه مثال هایی از توابع $eta$-محدب نشان داده می شود که هر تابع محدب خود یک تابع $eta$-محدب است و در مقابل توابع $eta$-محدبی وجود دارند که محدب نیستند. شاخص بندی توابع $eta$-محدب و یافتن شرایطی برای تابع که معادل با $eta$-محدب بودن تابع باشد از دیگر موضوعاتی است که در این رساله مورد تحقیق قرار گرفته است. نشان داده می شود که تحت شرایط خاص برای تابع $eta$ یک تابع $eta$-محدب بطور مطلق پیوسته و در نتیجه پیوسته است. بررسی دو نامساوی معروف هرمیت-هادامارد و نامساوی ینسن وابسته به توابع $eta$-محدب از دیگر موارد انجام شده در این رساله است . به عنوان تعمیم هایی از توابع $eta$-محدب، دو مفهوم تابع $eta_b$-محدب و تابع $eta_e$-محدب را معرفی کرده و به بررسی خواص آنها می پردازیم. نشان می دهیم با فرض مشتق پذیر بودن یک تابع $eta$-محدب، نامساوی های مختلفی را می توان بدست می آورد که معروفترین نامساوی از این دست نامساوی اسلاتر مخصوص توابع $eta$-محدب است. به عنوان تعمیمی از نامساوی هرمیت-هادامارد به معرفی و اثبات نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع $eta$-محدب پرداخته می شود و چند نتیجه جالب از این قضیه بیان می شود. مسئله تخمین تفاضل بین بخش میانی با بخش راست نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع $eta$-محدب و مسئله تخمین تفاضل بین بخش های میانی و چپ نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع $eta$-محدب از مهمترین بخشهای این رساله است. اثبات نامساوی هایی از نوع نامساوی های فجر که شامل انتگرال گیری وزنی هستند و همچنین بیان و اثبات نامساوی های ذوزنقه ای و نقطه میانی که در بردارنده نتایج جالبی مربوط به توابع $eta$-محدب مشتق پذیر است در این رساله انجام شده است. در نهایت طرح مسئله برنامه ریزی مختص توابع $eta$-محدب و ارائه چند نتیجه و قضیه تعمیم یافته در این زمینه، پایان بخش مطالب ارائه شده در این رساله در مورد توابع $eta$-محدب خواهد بود.