مدولهای قنتاهی مولد و دوگان آنها در جبر جابجایی
چکیده
در جبر خطی فضاهای برداری با بعد متناهی دارای خواص جالبی می باشند. همانطور که می دانیم در یک فضای برداری با بعد متناهی تعداد متناهی عنصر موجود است بطوریکه فضا را تولید کرده و مستقل خطی می باشند. این عناصر را پایه آن فضا می نامند. در مطالعه مدولها (تعمیمی از فضاهای برداری) ممکن است همواره عناصری به خوبی پایه موجود نباشد. بدین ترتیب بحث در مورد سیستم خاصی از مدولها که آنها را مدولهای متناهی - مولد می نامند شروع شد. در این مدولها تعداد متناهی عنصر موجود است که مدول را تولید می کند. (به عبارت دیگر هر عنصر از مدول ترکیب خطی این عناصر می باشد). پس زا مدت کوتاهی مشخص شد که این دسته از مدولها بخوبی فضاهای برداری با بعد متناهی نمی باشند. بطور مثال مدول متناهی - مولد موجود است که دارای ریر مدولی است که متناهی - مولد نمی باشند. بنابراین ریاضی دانان به فکر اضافه کردن شرایطی بودند که ضعف فوق بر طرف شود. بطور مثال معرفی مدولهای نوتری از این قبیل می باشند. در مدولهای نوتری، هر زیر مدول متناهی - مولد است . در جبر خطی نشان داده شده است که بررسی فضاهای دوگان کمک فراوانی به پیشبرد تحقیقات می نماید. لذا طبیعی به نظر می رسد که در مطالعه مدولها نیز دوگان مفاهیم بتواند در تحقیقات مدولها کمک نماید. در این مورد دوگانهای زیادی ساخته شده است . از جمله معروفترین آنها مفهوم مدولهای آرتینی می باشد که دوگان مناسبی برای مدولهای نوتری هستند. اما در مورد مدولهای متناهی - مولد و یا مدولهایی که فقط یا یک عضو تولید می شوند (مدولهای دوری) و دوگان آنها یعنی مدولهی متناهی - نشانده شده و مدولهای هم دوری بحث های فراوانی شده است . هدف از نگارش این پایان نامه بحث و بررسی بعضی از این مفاهیم می باشد. در فصل صفر، پیشنیازهایی را که در فصول بعدی مورد نیاز است فهرست وار آورده ایم تا خوانندگان نیازی به رجوع به کتابهای مختلف نداشته و با زبان این پایان نامه آشنا شوند. در فصل اول، مدولهای متناهی - مولد و دوگان آنها مدولهای متناهی - نشانده شده و ارتباط آنها با یکدیگر و با مدولهای نوتری و آرتینی بررسی شده است . در فصل دوم، حالات خاص مدولهای متناهی - مولد و متناهی - نشانده شده یعنی مدولهای دوری و هم دوری بررسی می گردد. و در فصل سوم با توجه به ارتباط ایده آلهای اول لطور ضعیف وابسته و ایده آلهای اول بطور ضعیف هم وابسته با مدولهای دوری و هم دوری، این ایده آلها بیان و بررسی می گردد. توجه شود که در تمای این پایان نامه، منظور از حلقه یک حلقه جابجایی یکدار نابدیهی می باشد. مدولهای نیز همواره مدولهای یکانی هستند.