a-جبرهای لی حلپذیر
چکیده
در این پایاننامه به نتایج بیشتری در مورد ساختار a-جبرهای لی حلپذیر دست می یابیم. در گذشته نتاجی در مورد ساختار a-جبرها بدست آمده بود که با محدودیتهایی روی مشخصه ی میدان همراه بود که در این پایاننامه با گذاشتن شرط حلپذیری این محدودیتها از میان برداشته می شوند. در ابتدا به نتایج جزئی اما اساسی در مورد a-جبرها میرسیم که در ادامه از آنها استفاده میکنیم. نشان دادیم که a-جبرها نسبت به زیرجبر، خارج قسمت و جمع مستقیم بسته است و سری مشتق بر سری پوچتوان پایینی در این نوع از جبرهای لی منطبق است که با استفاده از استقرا نتیجه مطلوب بدست می آید. a-جبرهای لی لزوما متاآبلی نیستند اما با حلپذیر در نظر گرفتن a-جبر، جبر لی ما متاآبلی نیز خواهد بود. نشان دادیم که a-جبرهای لی حلپذیر روی هر جمله از سری مشتق خود شکافته می شود و این منجر به تجزیه a-جبر لی میشود که در این مورد نیز از اثبات اسقرایی استفاده کردیم. همچنین نشان داده می شود که ایده آلهای جبر لی l رابطه ی خوبی با این تجزیه دارند. همچنین اثبات کردیم که دو ایده آل از یک a-جبر لی، چه موقع در مرکزساز همدیگر قرار دارند. بخشی از پایاننامه به بررسی a-جبرهای لی میپردازد که توان دوم جبر لی l در آنها پوچتوان است که به آن جبر لی کاملاً حلپذیر گوییم.a-جبرهای لی با این ویژگی متاآبلی اند که با این خصوصیت می توان موقعیت جبرهای پوچتوان ماکسیمال را بررسی کرد. بدینصورت که اگر u یک زیرجبر پوچتوان ماکسیمال جبر لی l باشد در اینصورت u بصورت جمع مستقیم اشتراک uبا توان دوم l و cنوشته می شود که cیک زیرجبر کارتان است. هم چنین به تفاوت تجزیه ی a-جبر لی l با در نظر گرفتن دو موقعیت متفاوت حلپذیری و کاملاً حلپذیری پی میبریم که در نوع خود جالب است. هرگاه جبر لی l دارای ایده آل می نیمال منحصربفرد wباشد در اینصورت lرا یکپارچه با یکپارچه ساز wگوییم. جبرهای یکپارچه نقش مهمی در کاربرد a-جبرها برای مطالعه انواع مانده های متناهی دارند. بنابراین بررسی ویژگی های دیگری که آنها می توانند داشته باشند، ارزشمند است. نشان دادیم که اگر l یک a-جبر لی کاملاً حلپذیر یکپارچه باشد، زیرجبر های پوچتوان ماکسیکال l، توان دوم l، و زیرجبرهای کارتان l هستند. همچنی شرایط لازم و کافی بدست می آوریم برای اینکه یک جبر لی با ایده آل منحصربفرد، a-جبر لی کاملاً حلپذیر باشد. در بخش آخر پایاننامه نیز به بررسی a-جبرهای لی روی میدان بسته جبری پرداختیم که به طبع سنگینتر از مطالبی است که در بخشهای قبل به آن پرداخته بودیم که این پیچیدگی با بررسی جبر های لی ?-آزاد که کاملاً حلپذیر نیستند بوضوح نمایان است.