سیستم های آنوزوف و برخی ویژگی های آن
چکیده
دیمیتری ویکتورویچ آنوزوف dmitri victorovich anosov} (متولد 30 نوامبر 1936 در مسکو) یک ریاضیدان روسی است و به دلیل تلاش های فراوان در نظریه سیستم های دینامیکی شهرت یافته است. دیفئومورفیسم های آنوزوف بوسیله ایشان در سال 1967 در [1] معرفی شدند. دیفئومورفیسم ها و شارهای آنوزوف از مهم ترین و قابل فهم ترین سیستم های دینامیکی هستند. امروزه نظر عموم این است که سیستم های آنوزوف به دلیل نوع کامل از رفتارهای هذلولوی یکپارچه و پیوستگی طبیعی آن ها، در مرکز نظریه سیستم های دینامیکی قرار دارند. امروزه سیستم های هذلولوی ناقص موضوع بسیاری از تحقیق ها است. این سیستم ها پیوندهای محکمی با جبر و همچنین با توپولوژی دارند. دیفئومورفیسم ها و شارهای آنوزوف نمونه های اولیه از سیستم های دینامیکی هذلولوی هستند و ویژگی های استواری خاصی را مانند پایداری ساختار دارند. هر منیفلدی دیفئومورفیسم آنوزوف نمی پذیرد. برای مثال چنین دیفئومورفیشم هایی روی کره وجود ندارند. ساده ترین مثال از منیفلدهای فشرده که پذیرنده دیفئومورفیسم های آنوزوف هستند، چنبره می باشد. مسئله کلاس بندی منیفلدهایی که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند بسیار مشکل به نظر می رسد و همچنان مانند سال 2005 بدون پاسخ باقی مانده است. تنها مثال هایی که تا کنون شناخته شده اند منیفلدهای فروپوچ می باشند. لذا در این جا سعی شده قضایایی در مورد این که چه فضاهایی می توانند دیفئومورفیسم های آنوزوف بپذیرند جمع آوری شوند. همچنین در این جا سعی شده ارتباطی بین گروه های بلورین فضای اقلیدسی و دیفئومورفیسم های آنوزوف برقرار گردد. بر این اساس این پایان نامه در پنج فصل به شرح زیر جمع آوری شده است. ابتدا بعضی از تعاریف مورد نیاز در این پایان نامه را در فصل اول تحت عنوان تعاریف و مفاهیم اولیه یادآوری می کنیم. در فصل دوم تحت عنوان گروه تبدیلات ابتدا عمل گروه روی یک مجموعه در حالت کلی را معرفی کرده و سپس عمل گروه ایزومتری های فضای اقلیدسی $mathbb{r}^{n}$ را بررسی می نماییم. در این بخش به بیان قضایای بیبرباخ نیز می پردازیم. سپس آن را در حالت خاص تری برای فضای اقلیدسی دو بعدی بررسی و کاتالوگی را با نقش اصیل ایرانی بته جقه برای گروه های بلورین این فضا ارائه می دهیم. در فصل سوم این پایان نامه عمل آنوزوف از فضای اقلیدسی $mathbb{r}^{n}$ و بعضی از خواص آن را بررسی می نماییم. و سپس عمل آنوزوف از گروه های لی پوچ توان که در حالت حقیقی حالت خاصی از فضای اقلیدسی $mathbb{r}^{n}$ هستند را می آوریم و به اثبات قضایایی در این زمینه می پردازیم. در فصل چهارم با عنوان دیفئومورفیسم آنوزوف روی منیفلدهای پوچ بعضی از شرایط لازم برای وجود دیفئومورفیسم های آنوزوف روی منیفلدهای پوچ و همچنین عدم وجود این دیفئومورفیسم ها روی کلاس های خاصی از منیفلدهای پوچ را بررسی می کنیم. یک کلاس بندی کامل از منیفلدهای پوچ از بعد کمتر یا مساوی شش که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند را ارائه می دهیم. در آخرین فصل این پایان نامه تحت عنوان دیفئومورفیسم های آنوزوف روی منیفلدهای فروپوچ، بعضی مشخصات جبری منیفلدهای فروپوچ را که روی یک گروه لی پوچ توان $c$-گامی با گروه هولونومی آبلی پذیرنده دیفئومورفیسم آنوزوف پدید آمده اند، بررسی می کنیم. همچنین روشی برای ساخت مثال هایی از منیفلدهای فروپوچ دارای دیفئومورفیسم آنوزوف را ارائه می دهیم. در این بخش همچنین قضایایی را در مورد فضاهایی با گروه بیبرباخ که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند بیان می کنیم.