برآورد پارامترهای یک جمعیت متناهی با استفاده از توزیع پسین پولیا
چکیده
پسین پولیا یک روش بیزی ناآگاهی بخش برای نمونه گیری از جمعیت های متناهی است که وقتی هیچ اطلاع پیشینی درباره جمعیت در دسترس نباشد و یا اطلاعات ناچیز باشد، این روش را به کار می بریم. در نمونه گیری از جمعیت های متناهی غالباً اطلاعات پیشین، به صورت اطلاعات جزئی از متغیر کمکی در دسترس است. به عنوان مثال ممکن است میانگین معلوم باشد. در این حالت معمولاً از برآورد گر نسبتی و برآورد گر رگرسیونی برای برآورد میانگین جمعیت استفاده می کنیم. یکی از فواید برآورد چارک های جمعیت، تشخیص صحیح توزیع پارامتر جمعیت است. هدف ما، برآورد ناپارامتری چندک های جمعیت است، در شرایطی که اطلاعات پیشین کمی درباره جمعیت وجود دارد و یا زمانی که هیچ اطلاعیوجود ندارد. اگرچه معمولاً در نمونه گیری از جمعیت متناهی اطلاعات پیشین وجود دارد، اما حالت بی اطلاعی نیزامکان پذیر است. توجه داشته باشید که برای برآورد میانگین جمعیت با استفاده از تابع زیان مربعات خطا، برآورد میانگین پسین پولیا همان میانگین نمونه است. واریانس میانگین نمونه با روش پسین پولیا مجانباً با واریانس محاسبه شده از روش های استاندارد فراوانی گرا برای نمونه های تصادفی ساده یکسان است. همچنین برآورد میانگین جمعیت از روش پسین پولیا با برآورد میانگین جمعیت با روش استاندارد فراوانی گرا کاملاً مشابه می باشد. هدف ما، برآورد چارک های جمعیت با استفاده از توزیع پسین پولیا است، وقتی نمونه تصادفی ساده داشته باشیم. با توجه به خواص کلی روش پسین پولیا، بین برآوردهای فاصله ای پسین پولیا و برآوردهای فاصله ای روش فراوانی گرا ارائه شده توسط اریکسون، هم ارزی مجانبی وجود دارد. علاوه بر این، تحت شرایط خاص، برآوردپسین پولیا چندک های جمعیت با استفاده از خواص بیز مرحله به مرحله روایی دارد. در بخشی از آمار که مربوط به نمونه گیری از جمعیت متناهی است معمولاً از اطلاعات پیشین در استنباط استفاده می شود. در بیشتر حالات این اطلاعات پیشین به صورت روش های بیزی مطرح نمی شود به این معنی که این اطلاعات ما را به یک توزیع پیشین واضح و روشن هدایت نمی کند. در روش های پیش بینی، یک مدل در نظر گرفته می شود و بعد از مشاهده نمونه، پارامترهای مجهول آن برآورد می شود. در روش های فراوانی گرا اطلاعات پیشین در طرح نمونه به کار می رود به این صورت که به عنوان مثال از طرح نمونه گیری احتمالی استفاده می کنیم. باسو (1998) نشان داد که بعد از مشاهده نمونه، طرح نمونه گیری هیچ نقشی در توزیع پسین روش های بیزی ندارد. همواره در نمونه گیری های پیمایشی تاکید در برآورد میانگین جمعیت بوده است. که معمولاً در این حالت میانگین متغیر کمکی در جمعیت به عنوان یک اطلاع پیشین معلوم است، در نتیجه برآوردگر های نسبتی و یا رگرسیونی برای برآورد میانگین پارامتر مجهول به کار می رود. پس زمانی که برآوردهای دیگری غیر از میانگین جمعیت مثل چندک ها در نظر باشد، وقتی اطلاع پیشین از متغیر کمکی غیر از میانگین آن باشد نیاز به ارائه روش های جدیدتری داریم. در این رساله در فصل اول به معرفی روش بیز مرحله به مرحله و توزیع پسین پولیا می پردازیم. سپس در فصل دوم روشی برای برآورد فاصله ای چندک های جمعیت با استفاده از توزیع پسین مطرح می نماییم. در فصل سوم ابتدا به بررسی برآوردگرهای میانگین به دست آمده از روش های بیزی می پردازیم و سپس روش پسین پولیای قیدی را برای برآورد پارامترهای جمعیت معرفی می نماییم. در نهایت به کمک شبیه سازی نشان می دهیم برآورد فاصله ای چندک پارامتر مجهول بر اساس پسین پولیا و روش برآورد استاندارد فراوانی گرا مشابه می باشند. همچنین روش های زنجیره مارکف مونت کارلو را برای پیدا کردن مقدار برآورد بر اساس توزیع پسین پولیا شرح می دهیم.