مطالعه ی گروه ها با تعداد متناهی نرمالساز
چکیده
وقتی یک گروه g ، n – نرمالساز دارد می نویسیم g? n_n . اگر g دارای تعداد متناهی نرمالساز باشد می نویسیم g? n . توجه داریم که n=?n_i. هدف کلی بررسی گروه های متعلق به n_n و مشخص کردن گروه های متعلق به n است. همچنین بررسی می کنیم که خاصیت های زیرگروه های نرمالساز چه تاثیری روی گروه خواهد داشت. پرز-راموس گروه های متناهی دارای دو نرمالساز را بررسی کرد و کامپ-مورا این نتیجه را به گروه های موضعاً متناهی تعمیم داد. برآنیم که این نتیجه را به گروه های دلخواه گسترش دهیم. به طور کلی در فصل اول به تعاریف وقضایایی که در فصل های آتی به آن نیازمندیم به طور اجمالی می پردازیم. در فصل دوم گروه هایی با دو، سه و چهار نرمالساز را مورد بررسی قرار خواهیم داد؛ و به عنوان اولین نتیجه بدست می اوریم که اگر یک گروه دارای تعداد متناهی نرمالساز باشد، آنگاه یک fc – گروه خواهد بود و گروه هایی با چند نرمالساز متناهی را به عنوان گروه های مرکزی-بواسطه-متناهی مشخص می کنیم. همچنین ارتباط بین نرمالسازهای یک گروه و پوچتوانی یا حل پذیر بودن آن را مطالعه خواهیم کرد. در فصل سوم ملاحظه می کنیم که گروهی که در آن همه به جز چند نرمالساز متناهی از زیرگروه های آبلی دارای شاخص متناهی باشند، در این صورت گروه خارج قسمت g/ z(g) که در آن z(g) مرکز گروه است، متناهی خواهد بود.همچنین گروه هایی با چند نرمالساز متناهی از زیرگروه های ناآبلی را شرح خواهیم داد. به ویژه روی گروه هایی که در آن هر زیرگروه، نرمال یا آبلی است تاکید می کنیم و دوقسمت آخر به ترتیب به ساختار گروه هایی با چند نرمالساز متناهی از زیرگروه های زیرنرمال و زیرگروه های نازیرنرمال اختصاص دارد. در فصل چهارم n^n - گروه ها که نرمالسازهای زیرگروه های دوری می باشند را مورد بررسی قرار می دهیم. در حقیقت ثابت خواهیم کرد که هر گروه متناهی حداکثر با 20 نرمالساز از زیرگروه های دوری حل پذیر است.