روش های تصویری برای حل معادلات ماتریسی
چکیده
هدف از تحلیل همگرایی یک روش زیر فضای کرایلف، توصیف رفتار نرم خطا و نرم باقیمانده متناظر با این روش بر حسب داده های ورودی مساله داده شده، از قبیل خواص ماتریس دستگاه، اطلاعات سمت راست و حدس اولیه است. در این رساله، تحلیل همگرایی روش گرادیان مزدوج و روش های gl-fom و gl-gmres را، به ترتیب، برای حل دستگاه معادلات خطی ax=b و معادلات ماتریسی axb=c، با ضرایب متقارن معین مثبت، مطالعه می کنیم. برای ساخت یک پایه متعامد یکه برای زیر فضاهای کرایلف متناظر با این روش ها، از الگوریتم لانچوز استفاده می کنیم. به علاوه، از آنجا که روش های gl-fom و gl-gmres روش های باقیمانده متعامد سراسری و باقیمانده کمینه سراسری هستند، بنابراین در این رساله آنها را، به ترتیب، روش های g-or-l و g-mr-l می نامیم.اطلاعات بدست آمده از الگوریتم لانچوز باعث می شود که بتوان عبارات صریح محاسباتی برای توصیف ساختار جواب تقریبی، باقیمانده و خطای متناظر با این روش ها بدست آورد. به ویژه، با استفاده از اطلاعات بدست آمده از الگوریتم لانچوز و اطلاعات طیفی ماتریس های مساله، چند کران بالا برای نرم باقیمانده و خطا متناظر با این روش ها نشان می دهیم. سپس، رفتار همگرایی نرم باقیمانده روش های گرادیان مزدوج و g-or-l را بررسی می کنیم.همچنین، رفتار همگرایی بدترین-حالت روش های g-or-l و g-mr-l را مطالعه می کنیم. به ویژه اینکه، با استفاده از این رفتار همگرایی، اثبات می کنیم که این روش ها در تعدادی متناهی تکرار همگرا می شوند.