طرح های بهینه بیزی در مدل های خطی تعمیم یافته
چکیده
طراحی یک آزمایش برای متغیر پاسخ دودوئی در علوم زیست شناسی به ویژه آزمایش های زیستی و نیز در علوم مهندسی به خصوص آزمون قابلیت اعتماد بسیار مهم است. به منظور مدل سازی متغیر پاسخ دودوئی از مدل های خطی تعمیم یافته استفاده می شود. مدل لجستیک در عمل کاربردی ترین مدل برای بررسی این گونه داده ها است که در خانواده مدل های خطی تعمیم یافته قرار می گیرد. بنابراین بررسی این مدل و ساختن طرح مناسب برای آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است. لذا در این پایان نامه به بررسی و ساخت طرح های بهینه در مدل لجستیک می پردازیم. به منظور پیدا کردن طرح بهینه از معیارهای بهینگی استفاده می شود. معمولاً این معیارها تابعی از ماتریس اطلاع هستند. در مدل های خطی تعمیم یافته برخلاف مدل های خطی، ماتریس اطلاع و در نتیجه معیارهای بهینگی به پارامترهای نامعلوم مدل بستگی دارد. لذا برای به دست آوردن طرح بهینه به منظور برآورد پارامترها، نیاز به دانستن اطلاعات پیشین در مورد مقادیر پارامترها داریم. یک روش معمول برای غلبه بر این مشکل، در نظر گرفتن مقادیر اولیه مناسب برای پارامترهای نامعلوم از طریق آزمایش های قبلی و یا حدس های اولیه است. این رهیافت، طرح های بهینه موضعی را نتیجه می دهد. کارایی طرح های بهینه موضعی بستگی به انتخاب مقادیر اولیه و در نتیجه به میزان صحت دانش پیشین آزمایشگر در مورد مقادیر درست پارامترها دارد. یک تعمیم ساده و طبیعی برای طرح های بهینه موضعی، استفاده از یک توزیع پیشین برای پارامترها به جای یک حدس اولیه است. در این صورت، روش بیز می تواند رهیافتی مناسب برای غلبه بر مشکل وابستگی معیارهای بهینگی به پارامترهای نامعلوم مدل باشد. یک رهیافت دیگر، طرح های بهینه مینی ماکس هستند که این روش بدترین کارایی را در یک فضای از پیش تعیین شده برای پارامترها بهینه می کند. روش مینی ماکس را می توان به عنوان روشی بین دو روش قبل در نظر گرفت. در این پایان نامه به بررسی طرح های بهینه موضعی، مینی ماکس و بیزی می پردازیم. برای کنترل کردن بهینه بودن طرح معمولاً از قضیه هم ارزی سود می جویند که در این نوشتار به تفصیل به آن پرداخته شده است. عموماً استنباط در یک مدل خطی تعمیم یافته بر اساس تقریب های مجانبی برای اریبی و ماتریس کوواریانس برآوردگر پارامترها انجام می گیرد. در آزمایش های با حجم نمونه کوچک، این تقریب ها ضعیف عمل می کنند زیرا برآوردگرهای اریب را نتیجه می دهند. در این نوشتار، مسئله طرح های بهینه برای نمونه های کوچک در مدل لجستیک نیز مورد بررسی قرار می گیرد.
